Corrigé e3a 2026 Physique et chimie PC — Physique, Partie I (Q1 à Q8) : Magnétisme terrestre : dipôle, lignes de champ, bouclier magnétique et rayons de giration

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique et chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Calculatrice interdite ; un chiffre significatif suffit. Données (tableau 1) : $M = 7, 9 \times 1 0^{22} A \cdot m^{2}$ ; champ au pôle Nord géographique $B_{0} = 6, 0 \times 1 0^{- 5} T$ ; $R_{T} = 6400 km$ ; rayon du noyau $R_{N} = 500 km$ ; $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} H \cdot m^{- 1}$ ; $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg$ ; $m_{p} = 2000 m_{e}$ ; $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ .

Figure 1 : photographie d'aurores boréales. Figure 2 : schéma de la magnétosphère (Soleil à gauche), redessiné ci-dessous.

{Figure 2 — Magnétosphère : lignes de champ, magnétopause, cornets polaires, queue et couche de courant.}

Q1. Formes locales et noms des quatre équations de Maxwell.
Q2. Définition d'une ligne de champ ; allure des lignes de $B$ d'un fil infini, d'une spire, d'un solénoïde long (sens de $I > 0$ ).
Q3. Champ $B$ d'un fil infini parcouru par $I$ , en coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ , $(O z)$ le long du fil dans le sens du courant.

Le champ terrestre est celui d'un dipôle $M = - M e_{z}$ placé en $O$ , centre de la Terre (sphère de rayon $R_{T}$ ) ; $(O z)$ orienté sud-nord ; coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ (figures 3 et 4). On donne

$B (P) = \frac{μ _{0}}{4 π r ^{3}} (3 (M \cdot e_{r}) e_{r} - M) .$

{Figure 3 — Coordonnées sphériques ; Figure 4 — La Terre et son noyau fluide.}

Q4. Composantes sphériques de $B (P)$ à la surface ; retrouver $M$ .
Q5. $M$ est dû à des courants volumiques $j$ dans le noyau, $M = j^{α} R_{N}^{β}$ : trouver $α$ , $β$ par analyse dimensionnelle, puis $j$ ; comparer à un fil de section $1 m m^{2}$ parcouru par $10 mA$ .
Q6. Allure orientée des lignes du dipôle dans le plan $(y O z)$ ; deux différences avec la figure 2.
Q7. Point A du plan équatorial $(x O y)$ à $d = 6 R_{T}$ : $θ$ , composantes de $B (A)$ ; commenter $B (A) = 1, 4 \times 1 0^{- 7} T$ .

A est sur la magnétopause ; au voisinage de A, le champ de la magnétosphère est uniforme et stationnaire, $B = B e_{z}$ (figure 5) ; dans le vent solaire, champ quasi nul.

{Figure 5 — Situation au voisinage du point A ; $(O z)$ sort de la feuille.}

Q8. Protons et électrons arrivent dans le plan $(x O y)$ à $700 km \cdot s^{- 1}$ : allure et sens des trajectoires expliquant le rôle de bouclier ; rayons des trajectoires circulaires (base locale $(e_{r}, e_{θ}, e_{z})$ ) et valeurs avec $B (A)$ ; commenter.

Corrigé

Q1. Dans le vide en présence de sources (densité volumique de charge $ρ$ , densité de courant $j$ ) :

$Maxwell-Gauss : Maxwell-flux : Maxwell-Faraday : Maxwell-Amp e ˋ re : div E = \frac{ρ}{ε _{0}}, div B = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} j + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Maxwell--Gauss et Maxwell--Ampère relient les champs à leurs sources ; Maxwell--flux et Maxwell--Faraday, dites « de structure », ne font pas intervenir les sources.

Q2. Définition. Une ligne de champ magnétique est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur $B$ en ce point, orientée dans le sens de $B$ . Comme $div B = 0$ , le flux de $B$ est conservatif : les lignes de champ ne partent d'aucun point et n'aboutissent à aucun point ; elles sont fermées (ou vont à l'infini) et tournent autour des courants.

Allures (sens donné par la règle de la main droite ; $⊙$ : courant sortant de la feuille, $\otimes$ : entrant) :

Fil : cercles centrés sur le fil dans les plans qui lui sont perpendiculaires, parcourus dans le sens direct autour du sens du courant. Spire : lignes qui s'enroulent autour de chaque brin et traversent la spire dans le sens de son moment magnétique. Solénoïde long : lignes parallèles à l'axe et resserrées à l'intérieur (champ quasi uniforme), qui se referment à l'extérieur où le champ est faible.

Q3. Symétries. Pour un point $M (r, θ, z)$ , le plan $(M, e_{r}, e_{z})$ contient le fil : c'est un plan de symétrie de la distribution de courants. $B$ , pseudo-vecteur, est perpendiculaire à tout plan de symétrie des courants passant par $M$ : $B (M) = B e_{θ}$ .

Invariances. Le fil infini est invariant par rotation d'angle $θ$ autour de $(O z)$ et par translation le long de $(O z)$ : $B$ ne dépend que de $r$ , donc $B = B (r) e_{θ}$ .

Théorème d'Ampère (magnétostatique) sur le cercle $C$ d'axe $(O z)$ , de rayon $r$ , orienté par $e_{θ}$ ; il enlace le courant $I$ dans le sens positif (règle de la main droite, $I$ dans le sens de $e_{z}$ ) :

$\oint_{C} B \cdot d ℓ = B (r) 2 π r = μ_{0} I ⟹ B (M) = \frac{μ _{0} I}{2 π r} e_{θ} (r > 0) .$

Ce que le correcteur attend : les symétries et invariances lues sur les sources (les courants), avant tout calcul ; le contour d'Ampère choisi en conséquence.

Q4. On projette $e_{z}$ sur la base sphérique : $e_{z} = cos θ e_{r} - sin θ e_{θ}$ . Donc $M = - M cos θ e_{r} + M sin θ e_{θ}$ et $M \cdot e_{r} = - M cos θ$ . Il vient

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