Corrigé e3a 2026 Physique et chimie PC — Physique, Partie II (Q9 à Q14) : Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, formule de Rydberg et raie verte des aurores

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique et chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ångström a observé en 1867 la raie jaune-verte des aurores boréales, à $557, 7 nm$ . Peut-elle être due à de l'hydrogène atomique ? On utilise le modèle de Bohr : un proton fixe en $O$ (référentiel galiléen), un électron (masse $m_{e}$ , charge $- e$ ) en $M$ , soumis à la seule force de Coulomb du proton, décrit une orbite circulaire (figure 6). Son moment cinétique en $O$ est quantifié : $L_{O} = L_{O} \cdot e_{z} = n ℏ$ , $n$ entier non nul, $ℏ = h / (2 π)$ ; à chaque $n$ correspond une orbite de rayon $r_{n}$ .

{Figure 6 — Repérage de l'électron en M autour du proton ( $e_{z}$ sort de la feuille).}

Q9. Si la vitesse initiale est dans le plan $(x O y)$ , la trajectoire y reste ; le mouvement circulaire est uniforme.
Q10. Vitesse $v_{n}$ en fonction de $r_{n}$ , $ε_{0}$ , $m_{e}$ , $e$ .
Q11. Énergies cinétique $E_{c}$ , potentielle $E_{p}$ et mécanique $E_{n}$ en fonction de $r_{n}$ , $ε_{0}$ , $e$ .
Q12. Montrer que $r_{n} = a_{0} n^{2}$ (rayon de Bohr $a_{0}$ ) et $E_{n} = - E_{0} / n^{2}$ ; expressions de $a_{0}$ et $E_{0}$ ; deux conséquences physiques.
Q13. En déduire la formule de Rydberg pour la transition du niveau $p$ au niveau $n$ ( $p > n$ ) : $\frac{1}{λ _{p \to n}} = R_{\infty} (\frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{p ^{2}})$ ; exprimer $R_{\infty}$ en fonction de $E_{0}$ , $h$ , $c$ .
Q14. Dans le visible, $n = 2$ ; $λ_{3 \to 2} = 656, 3 nm$ , $λ_{4 \to 2} = 486, 2 nm$ . La raie verte d'Ångström peut-elle venir de l'hydrogène ? Deux défauts du modèle de Bohr. Avec l'équation de Schrödinger à une dimension

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} + V ψ,$

interprétation et dimension de $ψ (x, t)$ .

Corrigé

Q9. Système : l'électron ; référentiel : celui du proton fixe, galiléen. La seule force est la force de Coulomb $F = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} e_{r}$ , centrale (portée par $O M$ ). Son moment en $O$ est nul : $O M \land F = 0$ . Le théorème du moment cinétique en $O$ , point fixe d'un référentiel galiléen, donne

$\frac{d L _{O}}{d t} = O M \land F = 0 ⟹ L_{O} = m_{e} O M \land v = cste .$

Si la position et la vitesse initiales sont dans le plan $(x O y)$ , $L_{O}$ est dirigé selon $e_{z}$ ; à tout instant $O M ⊥ L_{O}$ , donc $M$ reste dans le plan passant par $O$ et perpendiculaire à $e_{z}$ : le plan $(x O y)$ .

Uniformité. En coordonnées polaires, $L_{O} = m_{e} r^{2} θ ˙$ . Sur une orbite circulaire ( $r = r_{n}$ constant), la constance de $L_{O}$ impose $θ ˙ = cste$ : la vitesse $v = r_{n} θ ˙$ est constante, le mouvement est circulaire uniforme. (Autre argument : la force, radiale, est perpendiculaire à la vitesse, sa puissance est nulle et $E_{c}$ est constante.)

Ce que le correcteur attend : un mouvement plan n'est pas forcément uniforme, et un mouvement uniforme n'a pas une accélération nulle (ici l'accélération est centripète, $v^{2} / r_{n}$ ).

Q10. Principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{r}$ ; pour un mouvement circulaire uniforme, $a = - \frac{v _{n}^{2}}{r _{n}} e_{r}$ :

$- m_{e} \frac{v _{n}^{2}}{r _{n}} = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r _{n}^{2}} ⟹ v_{n} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m _{e} r _{n}} .$

Q11. D'après Q10, $m_{e} v_{n}^{2} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r _{n}}$ . L'énergie potentielle d'interaction coulombienne, nulle à l'infini, est celle de deux charges opposées :

$E_{c} = \frac{1}{2} m_{e} v_{n}^{2} = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} r _{n}}, E_{p} = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r _{n}}, E_{n} = E_{c} + E_{p} = - \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} r _{n}} .$

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