Corrigé e3a 2026 Physique et chimie PC — Physique, Partie III (Q15 à Q21) : Ondes de gravité en eau profonde : Euler linéarisé, relation de dispersion, vitesses de phase et de groupe

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique et chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Figure 7 : photographie d'un navire dans un fjord. La profondeur $H$ de l'eau peut atteindre $1300 m$ . Équation de Navier-Stokes ( $ρ$ masse volumique, $v$ vitesse, $P$ pression, $g$ pesanteur, $η$ viscosité dynamique) :

$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = ρ g - grad P + η Δ v . (1)$

Q15. Retrouver le nombre de Reynolds $R_{e}$ à partir de (1) (vitesse $U$ , longueur $L$ caractéristiques) ; signification.

Écoulement parfait et incompressible ; pression atmosphérique $P_{0}$ ; vent nul ; surface libre au repos plane en $z = 0$ ; $g = - g e_{z}$ uniforme. Au passage de l'onde, la surface libre a pour équation $z = h (x, t)$ (figure 8).

{Figure 8 — Ondes de gravité et notations.}

Ondes harmoniques d'amplitude $a ≪ λ$ se propageant selon $(O x)$ , indépendantes de $y$ ; fjord très profond, $H ≫ λ$ . Référentiel terrestre galiléen ; $v = v_{x} (x, z, t) e_{x} + v_{z} (x, z, t) e_{z}$ ; $P (x, z, t) = P_{e} (z) + p (x, z, t)$ ( $P_{e}$ : pression d'équilibre, $p$ : perturbation).

Q16. Équation d'Euler (écoulement parfait).
On néglige ensuite $(v \cdot grad) v$ devant $\partial v / \partial t$ .
Q17. Équation d'Euler à l'équilibre ; en déduire $P_{e} (z)$ en fonction de $P_{0}$ , $ρ$ , $g$ .
Q18. Montrer que $ρ \frac{\partial v}{\partial t} = - grad p$ (2). En notation complexe, $p = f (z) e^{j (ω t - k x)}$ , $v = [V_{x} (z) e_{x} + V_{z} (z) e_{z}] e^{j (ω t - k x)}$ , $h = a e^{j (ω t - k x)}$ ( $j^{2} = - 1$ ) : justifier ces formes, écrire (2) en complexes, rappeler la condition d'incompressibilité, établir $\frac{d ^{2} f}{d z ^{2}} - k^{2} f = 0$ .
Q19. $p$ restant fini, montrer que $p = A e^{k z} cos (ω t - k x)$ ; montrer que $e^{k a} \approx 1$ , puis, par continuité de la pression à la surface libre, que $A = a ρ g$ . Avec Q18, montrer que $v \cdot e_{z} = - \frac{1}{j ω ρ} ψ (z) e^{j (ω t - k x)}$ et exprimer $ψ (z)$ en fonction de $a$ , $ρ$ , $g$ , $k$ , $z$ .
Q20. Que traduit $v \cdot e_{z} = \frac{\partial h}{\partial t}$ à l'interface ? En déduire $ω = (g k)^{β}$ ; valeur de $β$ , homogénéité, nom de cette relation.
Q21. Définitions des vitesses de phase et de groupe ; leurs expressions en fonction de $g$ et $k$ ; relation entre elles.

Corrigé

Q15. Le nombre de Reynolds compare le terme convectif (inertiel) au terme diffusif (visqueux) de l'équation (1). Avec une vitesse caractéristique $U$ et une longueur caractéristique $L$ sur laquelle la vitesse varie, les ordres de grandeur sont

$ρ (v \cdot grad) v \sim ρ \frac{U ^{2}}{L}, η Δ v \sim η \frac{U}{L ^{2}}, d’o u ˋ R_{e} = \frac{ρ U ^{2} / L}{η U / L ^{2}} = \frac{ρ U L}{η},$

nombre sans dimension. Signification : $R_{e}$ mesure l'importance relative du transport de quantité de mouvement par convection et par diffusion visqueuse. Pour $R_{e} ≪ 1$ , la viscosité domine (écoulement laminaire, rampant) ; pour $R_{e} ≫ 1$ , les effets inertiels dominent (écoulement souvent turbulent) et la viscosité n'agit que dans de minces couches limites. Pour une vague ( $U \sim 1 m \cdot s^{- 1}$ , $L \sim 10 m$ , $ρ = 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , $η = 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ ), $R_{e} \sim 1 0^{7}$ : c'est ce qui justifie le modèle d'écoulement parfait adopté ensuite.

Q16. Un écoulement parfait est un écoulement où les effets de la viscosité sont négligeables : on supprime le terme $η Δ v$ . L'équation d'Euler s'écrit

$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = ρ g - grad P .$

Q17. À l'équilibre, $v = 0$ en tout point et à tout instant : l'équation d'Euler se réduit à la relation fondamentale de la statique des fluides

$0 = ρ g - grad P_{e}, soit \frac{d P _{e}}{d z} = - ρ g$

(l'axe $(O z)$ est orienté vers le haut, $g = - g e_{z}$ ). En intégrant avec $P_{e} (0) = P_{0}$ (continuité de la pression à la surface libre au repos) :

$P_{e} (z) = P_{0} - ρ g z (z \leq 0) :$

la pression croît avec la profondeur $- z$ . Ce que le correcteur attend : le signe, qui dépend de l'orientation de l'axe vertical.

Q18. Équation (2). Euler linéarisée (terme convectif négligé) avec $P = P_{e} + p$ :

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