Corrigé ENS 2025 Physique C PC — Partie 1 — Charges ponctuelles et formulations intégrales (Q1 à Q12) : Énergie de charges ponctuelles, formulations intégrales et énergie du champ

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique C PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Électrostatique, systèmes d'extension finie ; par convention, l'énergie d'interaction de deux systèmes tend vers zéro quand leur distance tend vers l'infini. Force de Coulomb de $q_{1}$ sur $q_{2}$ : $F_{1 \to 2} = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}} \frac{r _{12}}{r _{12}^{3}}$ , où $r_{12}$ repère $q_{2}$ par rapport à $q_{1}$ . Formulaire : $grad_{B} (1/ r_{A B}) = - r_{A B} / r_{A B}^{3}$ , $grad_{A} (1/ r_{A B}) = r_{A B} / r_{A B}^{3}$ ; $div (φ X) = φ div X + grad φ \cdot X$ ; pour $n$ unitaire, $∭ \frac{r \cdot ( r + n )}{r ^{3} r + n ^{3}} d τ = 4 π$ (6). $U^{α \leftrightarrow β}$ : énergie d'interaction ; $U^{α}$ : énergie propre.

Q1. $q_{1}$ fixe, $q_{2}$ amenée de l'infini à la distance $r_{12}$ : énergie potentielle d'interaction $U_{12}$ .
Q2. $q_{2}$ fixe, on déplace $q_{1}$ : force $F_{2 \to 1}$ dérivant de $U_{12}$ . $U_{12}$ décrit-elle complètement l'interaction ?
Q3. Facteur $a$ tel que $U_{q} = a \sum_{i \neq = j} q_{j} V_{i \to j}$ pour $N$ charges ; définir $V_{i \to j}$ ; signe de $U_{q}$ .
Q4. Quatre charges, $S_{q}^{α} = {q_{1}, q_{2}}$ , $S_{q}^{β} = {q_{3}, q_{4}}$ : décomposer $U_{q}$ en $U_{q}^{α}$ , $U_{q}^{β}$ et $U_{q}^{α \leftrightarrow β}$ .
Q5. Cas général : $U_{q}^{α \leftrightarrow β} = b \sum_{j \in S_{q}^{β}} q_{j} V_{α \to j}$ ; trouver $b$ , définir $V_{α \to j}$ ; écriture symétrique avec $V_{β \to i}$ .
Distribution continue : $U_{ρ} = \frac{1}{2} ∭ ρ (r) V_{ρ} (r) d τ$ (11). On admet ensuite $U_{ρ}^{α \leftrightarrow β} = ∭ ρ_{α} V_{β} d τ = ∭ ρ_{β} V_{α} d τ$ (12, réciprocité).
Q6. Décomposer $U_{ρ}$ pour $ρ = ρ_{α} + ρ_{β}$ .
Q7. Différence entre les formulations discrètes ( $U_{q}$ , $U_{q}^{α \leftrightarrow β}$ ) et continues ?
Q8. Effet sur $U_{ρ}$ et $U_{ρ}^{α \leftrightarrow β}$ d'un décalage $Δ V$ du potentiel (charges $Q$ , $Q_{α}$ , $Q_{β}$ ) ; commenter.
Q9. Montrer que $U_{es} = ∭ \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} d τ$ (13), intégrale sur tout l'espace.
Q10. Signe de cette énergie ; différence avec les charges ponctuelles ; une interaction attractive est-elle possible ?
Q11. $U_{es}$ d'une charge ponctuelle unique ; validité de (11) et (13) pour des charges ponctuelles.
Q12. Deux charges ponctuelles : décomposer $U_{es}$ (13) en énergies propres et d'interaction ; calculer l'intégrale convergente en fonction de $q_{1}$ , $q_{2}$ , $ε_{0}$ , $r_{12}$ .

Corrigé

Énergie d'un système de charges ponctuelles.

Q1. Système : la charge $q_{2}$ , dans le référentiel où $q_{1}$ est fixe ; déplacement quasi-statique (l'opérateur compense à chaque instant la force de Coulomb, l'énergie cinétique reste nulle). Pour un déplacement élémentaire $d r_{2}$ de $q_{2}$ , avec la relation (1) du formulaire (on fait varier $r_{B} = r_{2}$ , $A = 1$ ) :

$δ W = F_{1 \to 2} \cdot d r_{2} = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}} \frac{r _{12}}{r _{12}^{3}} \cdot d r_{2} = - \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}} grad_{2} (\frac{1}{r _{12}}) \cdot d r_{2} = - d (\frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r _{12}}) .$

La force de Coulomb est conservative : $δ W = - d U_{12}$ . Avec la convention $U_{12} \to 0$ quand $r_{12} \to \infty$ ,

$U_{12} = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r _{12}} .$

C'est aussi le travail fourni par l'opérateur pour amener $q_{2}$ de l'infini : $W_{op} = - W_{\infty \to r_{12}} = U_{12}$ . Il est positif pour deux charges de même signe (il faut « pousser » contre la répulsion), négatif pour des charges de signes opposés.

Ce que le correcteur attend : le signe (travail de la force $= - Δ U$ ) et une notation de gradient indicée ( $grad_{2}$ ), pas un « grad » ambigu.

Q2. On déplace maintenant $q_{1}$ ( $q_{2}$ fixe). La force qui dérive de $U_{12}$ est, avec la relation (2) ( $r_{A} = r_{1}$ varie) :

$F_{2 \to 1} = - grad_{1} U_{12} = - \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}} grad_{1} (\frac{1}{r _{12}}) = - \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0}} \frac{r _{12}}{r _{12}^{3}} = - F_{1 \to 2} .$

On retrouve la loi de Coulomb pour $q_{1}$ (et, au passage, le principe des actions réciproques) à partir de la même fonction $U_{12} (r_{12})$ . Si les deux charges se déplacent simultanément, $d U_{12} = grad_{1} U_{12} \cdot d r_{1} + grad_{2} U_{12} \cdot d r_{2} = - (F_{2 \to 1} \cdot d r_{1} + F_{1 \to 2} \cdot d r_{2})$ : la somme des travaux des deux forces est exactement $- d U_{12}$ . Une seule énergie, $U_{12}$ , décrit donc complètement l'interaction de la paire : c'est une énergie de la paire, qu'il ne faut compter qu'une fois (et non une fois « pour $q_{2}$ dans le champ de $q_{1}$ » puis une fois « pour $q_{1}$ dans le champ de $q_{2}$ »). Elle ne contient en revanche rien de l'énergie propre de chaque charge.

Q3. On construit le système en amenant les charges une à une depuis l'infini. La $k$ -ième charge est amenée dans le champ des $k - 1$ premières ; d'après Q1 et le principe de superposition, l'opérateur fournit $\sum_{i < k} \frac{q _{i} q _{k}}{4 π ε _{0} r _{ik}}$ . Au total, chaque paire ${i, j}$ intervient une fois :

$U_{q} = paires {i, j} \sum \frac{q _{i} q _{j}}{4 π ε _{0} r _{ij}} = \frac{1}{2} i \neq = j \sum q_{j} V_{i \to j}, V_{i \to j} = \frac{q _{i}}{4 π ε _{0} r _{ij}},$

où $V_{i \to j}$ est le potentiel créé par $q_{i}$ à l'emplacement de $q_{j}$ (nul à l'infini). Donc $a = \frac{1}{2}$ : la somme sur les couples ordonnés $i \neq = j$ compte chaque paire deux fois ( $q_{j} V_{i \to j} = q_{i} V_{j \to i}$ ). Signe : quelconque. $U_{q} > 0$ pour des charges toutes de même signe ; $U_{q} < 0$ par exemple pour deux charges opposées ( $U_{q} = q_{1} q_{2} / (4 π ε_{0} r_{12}) < 0$ , système lié).

Q4. En triant les couples $(i, j)$ selon l'appartenance de $i$ et $j$ aux sous-systèmes :

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