Corrigé ENS 2025 Physique C PC — Partie 1 — Grandeurs nivelées (Q13 à Q22) : Charges nivelées : énergie propre, rayon classique de l'électron, distance minimale

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique C PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour éviter les divergences, $N$ charges ponctuelles $q_{i}$ placées en $r_{i}$ sont remplacées par la distribution nivelée $ρ (r) = \sum_{i} q_{i} f (r - r_{i})$ (14), où la fenêtre $f$ est positive, normée ( $∭ f d τ = 1$ ), à symétrie sphérique et nulle au-delà d'une distance $R$ de son centre. On note $ρ_{q_{i}}$ la charge nivelée associée à $q_{i}$ , centrée en $r_{i}$ .

Q13. Représenter le passage des charges ponctuelles aux charges nivelées ; charge totale contenue dans $ρ$ .
Q14. Expression de $f$ pour une charge nivelée uniformément dans une boule de rayon $R$ .
Q15. Montrer que le potentiel d'une distribution d'extension finie, bornée ( $∣ ρ ∣ < ρ_{M}$ ), est fini en tout point.
Q16. En déduire que l'énergie d'un nombre fini de charges nivelées ne diverge pas.
Q17. Énergie propre $U_{B}^{R}$ d'une charge $q$ nivelée dans une boule homogène de rayon $R$ .
Q18. Si toute l'énergie de masse $m_{e} c^{2}$ de l'électron (boule homogène) était électrostatique (champ intérieur et extérieur), quel serait son rayon $r_{e}$ ? D'autres limites de la physique classique sont-elles déjà atteintes à cette échelle ?
Q19. Sans calcul poussé : pourquoi l'énergie d'interaction $U_{12}$ de deux charges nivelées dont les supports ne se recoupent pas est-elle celle des charges ponctuelles ?
*Q20. Supports qui s'interpénètrent, charges de signes opposés, boules homogènes : montrer (raisonnement physique) que $U_{12}$ est une fonction « décroissante » de $r_{12}$ et que l'énergie est minimale pour des charges superposées ; on note $U_{12}^{m}$ la valeur absolue de l'énergie correspondante.
Q21. On admet ce résultat pour toute fenêtre $f \geq 0$ . Tracer $U_{12} (r_{12})$ pour des charges ponctuelles ou nivelées, pour $q_{1} q_{2} < 0$ et $q_{1} q_{2} > 0$ , avec les grandeurs pertinentes.
Q22.** Pourquoi le nivellement revient-il à introduire une distance effective minimale $r_{m i n}$ ? La calculer pour $∣ q_{2} ∣ = ∣ q_{1} ∣$ et une boule homogène.

Corrigé

Q13. Chaque charge ponctuelle est « étalée » en un petit nuage à symétrie sphérique de rayon $R$ , centré sur sa position, de densité $q_{i} f (r - r_{i})$ (positive ou négative selon le signe de $q_{i}$ ) :

La charge totale vaut, d'après la normalisation (15) (et l'invariance de l'intégrale par translation),

$∭ ρ d τ = i = 1 \sum N q_{i} ∭ f (r - r_{i}) d τ = i = 1 \sum N q_{i} = Q :$

le nivellement conserve la charge ; il ne change que sa répartition à l'échelle $R$ .

Q14. Densité uniforme dans la boule, normée à $1$ :

$f (r) = \frac{3}{4 π R ^{3}} si r \leq R, f (r) = 0 sinon,$

en $m^{- 3}$ ; on vérifie $∭ f d τ = \frac{3}{4 π R ^{3}} \cdot \frac{4}{3} π R^{3} = 1$ .

*Q15.** Le potentiel (référence à l'infini) est $V (r) = \frac{1}{4 π ε _{0}} ∭_{D} \frac{ρ ( r ^{'} )}{r - r ^{'}} d τ^{'}$ . La seule difficulté est le point $r^{'} = r$ , où $1/ r - r^{'}$ diverge. Majorons : la distribution est contenue dans une boule de centre $r$ et de rayon $D$ fini (extension finie), donc

$V (r) \leq \frac{ρ _{M}}{4 π ε _{0}} ∭_{u \leq D} \frac{d τ _{u}}{u} = \frac{ρ _{M}}{4 π ε _{0}} \int_{0}^{D} \frac{4 π u ^{2}}{u} d u = \frac{ρ _{M} D ^{2}}{2 ε _{0}} < \infty.$

La singularité en $1/ u$ est intégrable en dimension 3 : l'élément de volume $4 π u^{2} d u$ l'écrase. Physiquement, la charge contenue dans une petite boule de rayon $u$ autour du point varie comme $u^{3}$ , sa contribution au potentiel comme $u^{3} / u = u^{2} \to 0$ : seule une charge ponctuelle (densité infinie) fait diverger le potentiel.

Q16. Pour un nombre fini de charges nivelées avec une fenêtre bornée (c'est le cas de la boule homogène, $f \leq 3/ (4 π R^{3})$ ), $∣ ρ ∣ \leq ρ_{M} = \sum_{i} ∣ q_{i} ∣ max f$ et la distribution est d'extension finie. D'après Q15, $V$ est fini, et même borné par $V_{M} = ρ_{M} D^{2} / (2 ε_{0})$ sur le support (de diamètre $D$ ). Alors

$∣ U_{ρ} ∣ = \frac{1}{2} ∭ ρ V d τ \leq \frac{1}{2} ρ_{M} V_{M} V_{support} < \infty.$

L'énergie (11), égale à (13), est finie : les énergies propres infinies de Q11 ont disparu.

Q17. La boule homogène de charge $q$ crée un champ radial (symétrie sphérique) que le théorème de Gauss donne :

$E (r) = \frac{q r}{4 π ε _{0} R ^{3}} (r \leq R), E (r) = \frac{q}{4 π ε _{0} r ^{2}} (r \geq R) .$

Avec (13) :

$U_{B}^{R} = \frac{ε _{0}}{2} \int_{0}^{R} \frac{q ^{2} r ^{2}}{16 π ^{2} ε _{0}^{2} R ^{6}} 4 π r^{2} d r + \frac{ε _{0}}{2} \int_{R}^{\infty} \frac{q ^{2}}{16 π ^{2} ε _{0}^{2} r ^{4}} 4 π r^{2} d r = \frac{q ^{2}}{40 π ε _{0} R} + \frac{q ^{2}}{8 π ε _{0} R},$

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