Corrigé ENS 2025 Physique C PC — Partie 1 — Sphères concentriques (Q23 à Q30) : Pression électrostatique et énergie de deux sphères concentriques par les travaux

Sphère seule : champ de $\bar{\Sigma }$ et pression électrostatique.

Q23. a) La distribution est à symétrie sphérique : tout plan contenant le centre $O$ et un point $M$ est plan de symétrie, donc ${\overrightarrow{E}}_S(M)=E(r){\overrightarrow{e}}_r$. Le théorème de Gauss sur la sphère de rayon $r$ centrée en $O$ donne $4\pi r^{2}E(r)=Q_{\mathrm{int}}/{\epsilon }_0$ :

$${\overrightarrow{E}}_S(P^{-})=\overrightarrow{0}(Q_{\mathrm{int}}=0),{\overrightarrow{E}}_S(P^{+})=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0(R+ϵ{)}^2}{\overrightarrow{e}}_r,$$

$$\text{et, pour }ϵ\to 0,{\overrightarrow{E}}_S(P^{+})\to \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}{\overrightarrow{e}}_r=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}{\overrightarrow{e}}_r.$$

On retrouve la discontinuité $\sigma /{\epsilon }_0$ de la composante normale à la traversée d'une surface chargée.

b) $\Sigma$ est plan et uniformément chargé. Son plan est un plan de symétrie de ses charges, donc de ${\overrightarrow{E}}_{\Sigma }$ : en deux points symétriques $P^{-}$ et $P^{+}$, la composante normale change de signe et la composante tangentielle est conservée. Les deux plans médiateurs du carré passant par $P$ (perpendiculaires à $\Sigma$) sont aussi plans de symétrie et contiennent $P^{\pm }$ : ${\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{\pm })$ est contenu dans leur intersection, la normale ${\overrightarrow{e}}_r$. Il n'a donc qu'une composante normale, d'où

$${\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{-})=-{\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{+}),\alpha =-1.$$

Le point $P$ appartient aux trois plans de symétrie : un champ qui y serait défini devrait être à la fois dans le plan de $\Sigma$ et selon sa normale, donc nul. Le champ d'une distribution surfacique n'est pas défini sur elle (formulaire), mais la seule valeur cohérente avec la symétrie, la demi-somme des limites de part et d'autre, est ${\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P)=\overrightarrow{0}$.

c) Les charges de $\bar{\Sigma }$ sont toutes à une distance de $P$ au moins de l'ordre de $b/2$ : ${\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}$ est continu au voisinage de $P$, et ${\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}(P^{\pm })\to {\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}(P)$ quand $ϵ\to 0$. Par superposition, ${\overrightarrow{E}}_S={\overrightarrow{E}}_{\Sigma }+{\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}$ en $P^{-}$ et en $P^{+}$ :

$$\overrightarrow{0}={\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{-})+{\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}(P),\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}{\overrightarrow{e}}_r={\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{+})+{\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}(P).$$

En ajoutant membre à membre et avec $\alpha =-1$ :

$${\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}(P)=\frac{1}{2}\left[{\overrightarrow{E}}_S(P^{-})+{\overrightarrow{E}}_S(P^{+})\right]=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}{\overrightarrow{e}}_r=\frac{Q}{8\pi {\epsilon }_0{R}^2}{\overrightarrow{e}}_r,$$

et ${\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{\pm })=\pm \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}{\overrightarrow{e}}_r$, le champ d'un plan infini chargé, ce qui est cohérent pour $ϵ\ll b$.

Ce que le correcteur attend : la discontinuité du champ à la traversée de la surface. Écrire ${\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{-})={\overrightarrow{E}}_{\Sigma }(P^{+})$ conduit à ${\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}=\sigma /{\epsilon }_0$, deux fois trop, et fausse Q24 et Q25.

Q24. L'élément $\Sigma$ porte la charge $\sigma b^2=\sigma \mathrm{d}S$. Seul $\bar{\Sigma }$ exerce sur lui une force, car la force d'une distribution sur elle-même est nulle (actions réciproques entre ses éléments). Avec ${\overrightarrow{E}}_{\bar{\Sigma }}$ uniforme sur $\Sigma$ :