Corrigé ENS 2025 Physique C PC — Partie 2 — Circuits filiformes (Q47 à Q56) : Tubes de champ, énergies propre et d'interaction de circuits, réciprocité, solénoïde fini

Flux et tubes de champ.

Q47. Soient ${\Sigma }_a$ et ${\Sigma }_a^{\prime }$ deux surfaces s'appuyant sur ${\Gamma }_a$, orientées toutes deux par ${\Gamma }_a$ (règle de la main droite). Ensemble, elles forment une surface fermée, sur laquelle la normale sortante coïncide avec celle de ${\Sigma }_a^{\prime }$ et est opposée à celle de ${\Sigma }_a$ (ou l'inverse). Comme $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$, le théorème de Green-Ostrogradski donne un flux sortant nul, ${\iint }_{{\Sigma }_a^{\prime }}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}-{\iint }_{{\Sigma }_a}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=0$ : ${\Phi }_a$ ne dépend que du contour. (Pour un circuit rigoureusement filiforme, le flux propre ${\Phi }_{a\to a}$ diverge près du fil, logarithmiquement : on suppose implicitement un fil de petite section, comme on nivelait les charges en 1.3.)

Q48. Fermons un tronçon de tube par deux sections $\mathrm{d}{\overrightarrow{s}}_1$ et $\mathrm{d}{\overrightarrow{s}}_2$. Le flux à travers la surface latérale est nul, puisque $\overrightarrow{B}$ lui est tangent, et le flux sortant total est nul ($\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$). Donc

$$\mathrm{d}\varphi ={\overrightarrow{B}}_1\cdot \mathrm{d}{\overrightarrow{s}}_1={\overrightarrow{B}}_2\cdot \mathrm{d}{\overrightarrow{s}}_2:$$

le flux transverse $\mathrm{d}\varphi =B\mathrm{d}{s}_{\alpha }$ est le même dans toute section du tube. Le tube s'élargit là où le champ faiblit.

Q49. Un tube ne peut pas s'arrêter en un point à distance finie. S'il se terminait (ou naissait) dans un petit volume, le flux sortant de ce volume vaudrait $\pm \mathrm{d}\varphi \ne 0$, ce qui contredit $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$ : il n'existe pas de « charge magnétique » où les lignes pourraient commencer ou finir. Suivi indéfiniment, un tube revient donc sur lui-même et se referme, ou s'éloigne indéfiniment, vers l'infini. On laisse de côté le cas exceptionnel de lignes qui remplissent une surface sans se refermer.

Q50. Soit $\Gamma$ une ligne de champ fermée, au cœur d'un tube fermé, orientée par $\overrightarrow{B}$. Sur elle, $\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=B\mathrm{d}l>0$, donc la circulation ${\oint }_{\Gamma }\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}$ est strictement positive. D'après le théorème d'Ampère (ARQS, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}$), elle vaut ${\mu }_0{I}_{\mathrm{enl}}$ : le courant enlacé par $\Gamma$ est non nul. Le tube entoure donc des branches de circuit parcourues par un courant, et il les enlace dans le sens qui rend $I_{\mathrm{enl}}>0$.

Énergie propre et énergie d'interaction.

*Q51.** Étape 1, découpage. Tout l'espace où ${\overrightarrow{B}}_a\ne \overrightarrow{0}$ est découpé en tubes élémentaires fermés $t_{\alpha }$, de flux transverses $\mathrm{d}{\varphi }_{\alpha }$ ; ceux qui vont à l'infini sont négligés (Q49).

Étape 2, intégrale le long d'un tube. Dans un élément de tube, ${\overrightarrow{B}}_a$, $\mathrm{d}{\overrightarrow{l}}_{\alpha }$ et $\mathrm{d}{\overrightarrow{s}}_{\alpha }$ sont colinéaires et de même sens, d'où

$$B_a^2\mathrm{d}\tau =B_a^2\mathrm{d}{l}_{\alpha }\mathrm{d}{s}_{\alpha }=\left({\overrightarrow{B}}_a\cdot \mathrm{d}{\overrightarrow{s}}_{\alpha }\right)\left({\overrightarrow{B}}_a\cdot \mathrm{d}{\overrightarrow{l}}_{\alpha }\right)=\mathrm{d}{\varphi }_{\alpha }{\overrightarrow{B}}_a\cdot \mathrm{d}{\overrightarrow{l}}_{\alpha },$$

et $\mathrm{d}{\varphi }_{\alpha }$ est constant le long du tube (Q48), donc

$${\iiint }_{t_{\alpha }}\frac{B_a^2}{2{\mu }_0}\mathrm{d}\tau =\frac{\mathrm{d}{\varphi }_{\alpha }}{2{\mu }_0}{\oint }_{t_{\alpha }}{\overrightarrow{B}}_a\cdot \mathrm{d}{\overrightarrow{l}}_{\alpha }.$$

Étape 3, Ampère. La circulation le long du tube fermé vaut ${\mu }_0$ fois le courant enlacé (Q50), soit ${\mu }_0{\nu }_{\alpha }{I}_a$. L'entier ${\nu }_{\alpha }$ compte, algébriquement, le nombre de fois où le tube traverse une surface ${\Sigma }_a$ s'appuyant sur ${\Gamma }_a$ : c'est le nombre d'enlacements du tube et du circuit. Il vaut $1$ pour un circuit simple, $N$ pour une bobine de $N$ spires.

Étape 4, sommation. Chaque tube contribue ${\nu }_{\alpha }\mathrm{d}{\varphi }_{\alpha }$ au flux de ${\overrightarrow{B}}_a$ à travers ${\Sigma }_a$, une fois à chaque traversée, et l'on a donc ${\Phi }_{a\to a}={\sum }_{\alpha }{\nu }_{\alpha }\mathrm{d}{\varphi }_{\alpha }$. Alors