Corrigé ENS 2025 Physique C PC — Partie 2 — Distribution volumique de courants (Q41 à Q46) : Bilan de Poynting dans l'ARQS et énergie magnétique d'une distribution de courants

ARQS magnétique : $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\rho /{\epsilon }_0$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\partial \overrightarrow{B}/\partial t$, $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}\simeq {\mu }_0\overrightarrow{j}$ (17), $\mathrm{div}\overrightarrow{j}=0$ (18). À grande distance d'une distribution finie : $\overrightarrow{E}$ en $r^{-2}$ si sa charge totale $Q\ne 0$, au moins en $r^{-3}$ si $Q=0$ ; $\overrightarrow{B}$ au moins en $r^{-3}$. Formulaire : $\mathrm{div}(\overrightarrow{X}\wedge \overrightarrow{Y})=\overrightarrow{Y}\cdot \overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{X}-\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{Y}$ (4).

Q41. Une distribution de courants d'extension finie peut-elle rayonner de l'énergie dans l'ARQS magnétique ?

Système $\mathcal{D}$ de charge totale nulle, d'extension finie : circuits conducteurs fixes, non magnétiques. Porteurs mobiles : électrons de charge $-e$, de densité volumique de charge ${\rho }_e$, de vitesse moyenne ${\overrightarrow{v}}_e$, avec $\overrightarrow{j}={\rho }_e{\overrightarrow{v}}_e$. Aucun courant pour $t\le 0$ ; on établit progressivement des courants, constants pour $t\ge T$. À $t=0$, les charges sont au repos et leur énergie est prise nulle.

Q42. Montrer que la puissance fournie aux charges par le champ est $\mathcal{P}={\iiint }_{\mathcal{D}}\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\mathrm{d}\tau$ (25). Montrer que la composante électrostatique de $\overrightarrow{E}$ n'y contribue pas ; quelle autre composante le peut ?
Q43. Sphère fixe ${\Sigma }_R$ (rayon $R$, normale sortante) limitant un volume ${\mathcal{V}}_R$ qui contient $\mathcal{D}$ : montrer que

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\iiint }_{{\mathcal{V}}_R}\frac{B^2}{2{\mu }_0}\mathrm{d}\tau =-\oint {\oint }_{{\Sigma }_R}\overrightarrow{\pi }\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}-{\iiint }_{\mathcal{D}}\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\mathrm{d}\tau ,$$

où $\overrightarrow{\pi }$ est le vecteur de Poynting, à définir (26).
Q44. En déduire que l'énergie magnétique stockée pour $t>T$ est $U_{\mathrm{ms}}=\iiint \frac{B^2}{2{\mu }_0}\mathrm{d}\tau$ sur tout l'espace (27).
Q45. Solénoïde de la partie 2.1 (rayon $R$, longueur $L$, $n$ spires par mètre, courant $I_0$) : variation de l'énergie magnétique quand son rayon passe de $R$ à $2R$ ; commenter.
Q46. Système $S_j$ formé de distributions $S_j^a$ : identifier dans $U_{\mathrm{ms}}$ les énergies propres $U_j^a$ et les énergies d'interaction $U_j^{a\leftrightarrow b}$ ; signe de chacune.