Corrigé ENS 2025 Physique C PC — Partie 2 — Énergie propre et électrons de conduction (Q57 à Q62) : Champ d'un électron en mouvement, masse électromagnétique, énergie cinétique des porteurs

On relie l'énergie magnétique propre d'un courant à l'énergie cinétique de ses électrons. En ne gardant que le champ électrique extérieur à un électron de rayon $r_e$, son énergie de masse est électrostatique : $m_e=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r_e{c}^2}$ (32). $(\overrightarrow{E},\overrightarrow{B})$ : champs dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$ ; $({\overrightarrow{E}}^{\prime },{\overrightarrow{B}}^{\prime })$ : champs dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en translation rectiligne uniforme à la vitesse $\overrightarrow{V}$ par rapport à $\mathcal{R}$. Données : ${\mu }_0{\epsilon }_0{c}^2=1$, $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{C}$, $m_e=9,1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$, ${\mu }_0=1,3\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{A}}^{-1}$ ; calculatrice interdite.

Q57. En mécanique newtonienne, la force sur un point matériel est invariante par changement de référentiel galiléen. En déduire le champ magnétique créé par un électron ponctuel de vitesse ${\overrightarrow{v}}_e$ ; commenter.

Transformation relativiste ($\parallel$, $\perp$ : composantes parallèle et perpendiculaire à $\overrightarrow{V}$, $\gamma =(1-V^2/c^2{)}^{-1/2}$) :

$${\overrightarrow{E}}_{\parallel }^{\prime }={\overrightarrow{E}}_{\parallel },{\overrightarrow{B}}_{\parallel }^{\prime }={\overrightarrow{B}}_{\parallel },{\overrightarrow{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\overrightarrow{E}}_{\perp }+\overrightarrow{V}\wedge \overrightarrow{B}\right),{\overrightarrow{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \left({\overrightarrow{B}}_{\perp }-\frac{1}{c^2}\overrightarrow{V}\wedge \overrightarrow{E}\right).$$

Q58. Champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ créés par un électron de vitesse ${\overrightarrow{v}}_e\ll c$, au point repéré par $\overrightarrow{r}$ depuis l'électron, au premier ordre en $v_e/c$ (en fonction de ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$, $e$, ${\overrightarrow{v}}_e$, $\overrightarrow{r}$).
Q59. Électron de rayon $r_e$ : montrer qu'à un facteur $\lambda$ proche de $1$ près, l'énergie magnétique $U_m^e$ de son champ extérieur (équation (27)) s'interprète comme son énergie cinétique. À quoi correspond alors sa masse ? On omet ensuite $\lambda$.
Q60. Solénoïde de longueur $L$, $N$ spires circulaires de rayon $R$, courant $I$ ; fil de section circulaire de rayon $a$, avec $n_e$ électrons de conduction par unité de volume. Énergie cinétique totale $E_c^{\mathrm{tot}}$ de ces électrons.
Q61. Comparer numériquement à l'énergie magnétique propre (champ du solénoïde infini, intérieur seulement) pour $n_e=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$, $I=1,0\mathrm{A}$, $N=5000$, $R=2\mathrm{cm}$, $L=20\mathrm{cm}$, $a=1,0\mathrm{mm}$.
*Q62.** Origine de la différence ? Sur un exemple simple, borne supérieure absolue $U_{\mathrm{ms}}^{\max }$ de l'énergie magnétique en fonction de l'énergie cinétique des électrons ; estimation ; taille du solénoïde qui en approcherait.