Corrigé ENS 2025 Physique C PC — Partie 2 — Théorème de Maxwell (Q31 à Q40) : Travail des forces de Laplace, théorème de Maxwell, pression magnétique d'un solénoïde

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique C PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Circuits non magnétiques d'extension finie, ARQS magnétique ( $rot B ≃ μ_{0} j$ , $div j = 0$ ).

Q31. Circuit filiforme orienté $C$ , courant constant $I$ , dans un champ $B$ : montrer que le travail de la force de Laplace sur un élément $d l$ déplacé de $d u$ vaut $δ w_{L} = I B \cdot (d u \land d l)$ (19).
Q32. $d u \land d l$ comme élément de surface $d S$ (schéma orienté) ; pour une translation, $δ W_{L} = I d Φ_{c}$ , flux à travers une surface $d Σ_{c}$ à représenter.
Q33. Déplacement de $t_{ini}$ à $t_{fin}$ à $I$ constant, $B (r, t)$ quelconque. a) Le travail ne dépend-il que des positions initiale et finale ? b) Sinon, de la seule trajectoire géométrique ? c) Et si $I$ varie ?
Q34. $I$ constant, $B (r)$ stationnaire : montrer que $W_{L} = η I ΔΦ$ (21), $ΔΦ = Φ_{fin} - Φ_{ini}$ (théorème de Maxwell) ; trouver $η$ (schéma).
Q35. Énergie potentielle $U_{I}$ ; déplacements spontanés d'un circuit rigide, puis déformable.

Solénoïde $S$ d'axe $(O, e_{z})$ , de rayon $R$ , de longueur $L ≫ R$ , à $n$ spires par unité de longueur parcourues par $I_{0}$ ; on le traite comme infini : $B_{0} = μ_{0} n I_{0} e_{z}$ à l'intérieur, $0$ à l'extérieur. Spire rigide carrée (côté $a$ , courant $I_{s}$ constant), d'abord dans le plan $(x, y)$ , centrée sur l'axe, de flux positif. A1 : translation dans le plan $(x, y)$ . A2 : rotation autour d'une droite parallèle à $y$ passant par son centre, jusqu'au plan $(y, z)$ . La spire reste dans le solénoïde.

Q36. Travail des forces de Laplace dans le cas A1 ; comparer au théorème de Maxwell.
Q37. Même question pour A2 ; on peut utiliser, en justifiant sa validité, le couple $Γ_{L} = M \land B_{0}$ (23).

On fait varier $R$ à $n$ et $I_{0}$ fixés. Comme en 1.4 : élément carré $Σ$ du bobinage (centre $P$ , côté $b ≪ R$ , fils parallèles), champ $B_{Σ ˉ}$ du reste $Σ ˉ$ , supposé uniforme sur $Σ$ ; coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ .

*Q38. Calculer $B_{Σ ˉ} (P)$ (schémas).
Q39. En déduire une force de pression $d F = P_{ms} d S$ (24) ( $d S$ sortant) ; $P_{ms}$ ; sens selon le signe de $I_{0}$ .
Q40.** Travail reçu par le solénoïde sous sa propre action de $R$ à $2 R$ ; comparer au théorème de Maxwell ; justifier un désaccord.

Corrigé

Travail des forces de Laplace.

Q31. La force de Laplace sur l'élément $d l$ du circuit parcouru par $I$ est $d F_{L} = I d l \land B$ . Pour le déplacement $d u$ , avec la propriété (5) du produit mixte ( $X = d l$ , $Y = B$ , $Z = d u$ ) :

$δ w_{L} = d F_{L} \cdot d u = I (d l \land B) \cdot d u = I (d u \land d l) \cdot B = I B \cdot (d u \land d l) .$

Q32. Pendant le déplacement, l'élément $d l$ balaie le parallélogramme construit sur $d u$ et $d l$ . $d u \land d l$ en est le vecteur surface $d S$ : sa norme est l'aire du parallélogramme, sa direction lui est normale, et son sens est fixé par l'ordre $(d u, d l)$ . En sommant (19) sur le circuit,

$δ W_{L} = I \oint_{C} B \cdot (d u \land d l) = I \iint_{d Σ_{c}} B \cdot d S = I d Φ_{c},$

où $d Σ_{c}$ est la bande balayée par $C$ entre $C (t)$ et sa position translatée $C^{'}$ , orientée par $d S = d u \land d l$ ; $d Φ_{c}$ est le flux coupé par le circuit.

Orientation : pour une boucle orientée dans le sens direct vue d'en haut et translatée vers le haut, $d u \land d l$ pointe vers l'intérieur de la bande (vers l'axe). Si $B$ ne dépend pas du temps, le flux de $B$ à travers la surface fermée formée par $d Σ_{c}$ et par deux surfaces s'appuyant sur $C$ et $C^{'}$ est nul ( $div B = 0$ ). Avec les orientations ci-dessus, cela donne $d Φ_{c} = Φ (C^{'}) - Φ (C)$ : le flux coupé est la variation du flux à travers le circuit.

Q33. Le travail total est $W_{L} = \int_{t_{ini}}^{t_{fin}} I d Φ_{c} (t)$ , où $d Φ_{c} (t)$ est le flux du champ à l'instant $t$ à travers la bande balayée entre $t$ et $t + d t$ .

a) Non. Un champ qui dépend du temps ne vérifie aucune relation qui permettrait de sommer les flux coupés en une différence de flux entre états extrêmes. Deux mouvements de mêmes positions initiale et finale donnent en général des travaux différents.
b) Non plus. La même trajectoire géométrique parcourue avec une autre loi horaire place le circuit en un même lieu à des instants différents, où le champ n'est pas le même. Il faut la trajectoire et la loi horaire, c'est-à-dire le mouvement complet $C (t)$ .
c) Si $I$ varie, $W_{L} = \int I (t) d Φ_{c} (t)$ dépend en plus de la loi $I (t)$ , synchronisée avec le mouvement. Même dans un champ stationnaire, le travail n'est plus une fonction des seuls états extrêmes, car $\int I d Φ$ dépend du chemin dans le plan $(Φ, I)$ .

Q34. Hypothèses : $I$ constant, $B (r)$ indépendant du temps, donc le même champ à tous les instants. Entre $t$ et $t + d t$ , les surfaces $Σ (t)$ et $Σ (t + d t)$ s'appuyant sur le circuit, avec la bande $d Σ_{c}$ , forment une surface fermée. Le flux sortant de $B$ y est nul (Green-Ostrogradski, $div B = 0$ ), d'où, avec les orientations de Q32, $d Φ_{c} = Φ (t + d t) - Φ (t)$ . Ici $Φ$ ne dépend pas de la surface choisie (même argument) et le champ est le même aux deux instants : c'est ce qui permet de recoller les bandes successives. En sommant,

$W_{L} = \int I d Φ_{c} = I \iint_{Σ_{lat}} B \cdot d S = I (Φ_{fin} - Φ_{ini}), η = 1,$

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