Corrigé ENS 2025 Physique U PSI — Partie 1 (Q1 à Q10) : Enthalpie libre de mélange eau salée-eau douce et énergie osmotique maximale

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Données utiles du formulaire (calculatrice interdite) : $M (Na) = 23 g \cdot mo l^{- 1}$ , $M (Cl) = 35, 5 g \cdot mo l^{- 1}$ ; volume molaire de l'eau $v_{m} = 18 c m^{3} \cdot mo l^{- 1}$ , supposé indépendant de la concentration ; $R = 8, 3 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ; $ln 2 ≃ 0, 7$ . Les applications numériques se font à $T$ et $P$ ambiantes.

Un dispositif produit de l'électricité en mélangeant un volume $V_{A}$ d'eau salée (solution A) et un volume $V_{B}$ d'eau pure (solution B). On note $x$ la fraction molaire de sel dans A, $μ^{*} (P, T)$ le potentiel chimique de l'eau pure, et l'on admet pour le sel $μ_{S} = Ψ (P, T) + R T ln x$ (mélange idéal eau--sel).

Q1. L'eau de mer contient environ $30 g \cdot L^{- 1}$ de $NaCl$ . Montrer que $x_{Na} = x_{Cl}$ et estimer $x = x_{Na} + x_{Cl}$ (dans la suite, une seule espèce dissoute de fraction molaire $x$ ).
Q2. Potentiel chimique $μ (P, T, x)$ de l'eau dans la solution idéale ; enthalpies libres $G_{A}$ et $G_{B}$ avant mélange, en fonction de $μ^{*}$ , $Ψ$ , $V_{A}$ , $V_{B}$ , $v_{m}$ et $x$ .
Q3. Enthalpie libre $G_{M}$ du mélange, de volume $V_{M}$ et de fraction molaire en sel $x_{M}$ .
Q4. Mélange à $T$ et $P$ constantes avec $V_{M} = V_{A} + V_{B}$ : exprimer $x_{M}$ puis $Δ G$ en fonction de $V_{A}$ , $V_{B}$ , $x$ et $ϕ_{A} = V_{A} / (V_{A} + V_{B})$ .
Q5. Simplifier $Δ G$ pour $x ≪ 1$ (résultat linéaire en $x$ ).
Q6. Variation d'enthalpie libre $Δ G_{gaz}$ de $n$ moles de gaz parfait détendues de façon isotherme de $V_{A}$ à $V_{M}$ . Pourquoi $Δ G_{gaz} = Δ G$ pour $n = x V_{A} / v_{m}$ ?
Q7. Travail maximal récupérable pour $V_{A} = V_{B} = 1 m^{3}$ , en J puis en kWh.
Q8. Durée d'allumage d'une ampoule LED de $9 W$ avec ce travail, en heures.
Q9. L'Amazone débite $200000 m^{3} \cdot s^{- 1}$ d'eau douce dans l'Atlantique (réservoir d'eau salée à $30 g \cdot L^{- 1}$ ). Puissance osmotique maximale à l'embouchure avec $V_{A} = V_{B}$ ; comparer à un réacteur nucléaire ( $900 MW$ ).
Q10. À $V_{B}$ donné, comment choisir $V_{A}$ pour maximiser l'énergie récupérable ?

Corrigé

Q1. Électroneutralité. Le chlorure de sodium se dissout totalement selon $NaCl Na X^{+} + Cl X^{-}$ : chaque mole dissoute libère une mole de chaque ion, donc $n_{Na} = n_{Cl}$ (c'est aussi l'électroneutralité de la solution). Les fractions molaires ayant le même dénominateur $n_{tot}$ , $x_{Na} = x_{Cl}$ .

Ordre de grandeur. $M (NaCl) = 23 + 35, 5 = 58, 5 g \cdot mo l^{- 1}$ , d'où une concentration molaire en sel

$c = \frac{30}{58 , 5} ≃ 0, 51 mol \cdot L^{- 1} .$

Un litre de solution contient environ $1/ v_{m} = 1000/18 ≃ 56$ moles d'eau, et $2 c ≃ 1, 0$ mole d'ions. Donc

$x = x_{Na} + x_{Cl} = \frac{2 c}{1/ v _{m} + 2 c} ≃ 2 c v_{m} ≃ \frac{1 , 0}{56} ≃ 2 \times 1 0^{- 2} .$

Ce que le correcteur attend : la conversion de la concentration massique en concentration molaire, et le facteur 2 (deux ions par unité $NaCl$ ) — les deux erreurs relevées par le jury.

Q2. Pour un constituant d'un mélange idéal en phase condensée, l'activité est la fraction molaire. L'eau, de fraction molaire $1 - x$ , a pour potentiel chimique

$μ (P, T, x) = μ^{*} (P, T) + R T ln (1 - x) .$

Quantités de matière. On admet, comme le suggère Q6, que le volume molaire $v_{m}$ est commun à l'eau et au soluté (mélange idéal sans variation de volume) : un volume $V$ de solution contient $V / v_{m}$ moles au total. La solution A contient donc $(1 - x) V_{A} / v_{m}$ moles d'eau et $x V_{A} / v_{m}$ moles de soluté ; la solution B, $V_{B} / v_{m}$ moles d'eau pure. (Si l'on compte plutôt $V_{A} / v_{m}$ moles d'eau, les résultats ne changent qu'à l'ordre $x^{2}$ .)

Identité d'Euler. $G = \sum_{i} n_{i} μ_{i}$ , d'où

$G_{A} = \frac{V _{A}}{v _{m}} [(1 - x) (μ^{*} + R T ln (1 - x)) + x (Ψ + R T ln x)], G_{B} = \frac{V _{B}}{v _{m}} μ^{*} .$

Q3. Le mélange est une solution idéale du même type, de volume $V_{M}$ et de fraction molaire $x_{M}$ :

$G_{M} = \frac{V _{M}}{v _{m}} [(1 - x_{M}) (μ^{*} + R T ln (1 - x_{M})) + x_{M} (Ψ + R T ln x_{M})] .$

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