Corrigé ENS 2025 Physique U PSI — Partie 2.1 (Q11 à Q23) : Double couche électrique : Poisson-Boltzmann et longueur de Debye près d'une paroi chargée

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une membrane d'épaisseur $L = 100 nm$ , percée de canaux de largeur $a = 25 nm$ et chargée en surface (densité $Σ$ ), sépare un réservoir d'eau salée (concentration $c_{s}$ ) d'un réservoir d'eau pure ; des électrodes plongent de part et d'autre (Figure 1).

{ Figure 1 — Membrane entre les deux réservoirs ; à droite, un canal bordé de parois de charge surfacique $Σ$ .}

Section 2.1 : les deux réservoirs ont la même concentration ; on étudie la solution très près d'une paroi plane infinie (Figure 2), $e_{z}$ sortant de la paroi. $c_{\pm} (x, y, z, t)$ : concentrations des ions $Na X^{+}$ et $Cl X^{-}$ ( $mol \cdot m^{- 3}$ ) ; $E = - grad ϕ$ , $ϕ$ nul loin de la paroi. On admet la densité de flux de migration $j_{+}^{(E)} = - e μ_{+} c_{+} grad ϕ$ (1), $μ_{+}$ , $D_{+}$ et $T$ uniformes et constants, et l'on pose $ψ = e ϕ / (k_{B} T)$ (2).

{ Figure 2 — Le problème résolu très près de la paroi.}

Q11. Relation entre la densité de flux de diffusion $j_{+}^{(D)}$ ( $mol \cdot m^{- 2} \cdot s^{- 1}$ ), $c_{+}$ et $D_{+}$ .
Q12. Équation aux dérivées partielles vérifiée par $c_{+}$ , en fonction de $c_{+}$ , $μ_{+}$ , $D_{+}$ , $k_{B} T$ et $ψ$ .
Q13. À l'équilibre, $c_{+} = c_{\infty} e^{- ψ}$ (Boltzmann). En déduire la relation entre $μ_{+}$ et $D_{+}$ .
Q14. Distribution de Boltzmann de $c_{-}$ ; pourquoi la même constante $c_{\infty}$ ?
Q15. (ARQS.) Densité volumique de charge $ρ_{e}$ en fonction de $c_{\pm}$ , puis de $ψ$ .
Q16. Équation de Poisson dans le vide ; dans la solution ( $ε_{0} \to ε_{0} ε_{r}$ ), l'écrire avec $ψ$ et $λ_{D}$ , où $λ_{D}^{2} = \frac{ε _{0} ε _{r} k _{B} T}{2 e ^{2} N _{A} c _{\infty}}$ (3).
Q17. Conséquences des symétries sur $E$ et $ϕ$ .
Q18. Pour $ψ ≪ 1$ , résoudre l'équation de Poisson ; $ϕ_{0}$ : potentiel à la paroi.
Q19. Le champ étant nul dans le matériau de la membrane, montrer que $\int_{0}^{+ \infty} ρ_{e} (z) d z + Σ = 0$ (4).
Q20. En intégrant (4), relier $ϕ_{0}$ à $Σ$ , $λ_{D}$ , $ε_{0}$ , $ε_{r}$ .
Q21. Dimension de $λ_{D}$ ; valeur pour $c_{\infty} = 0, 5 mol \cdot L^{- 1}$ (eau de mer).
Q22. Allure de $ϕ$ à faible et à forte concentration ( $Σ$ fixée). Justifier a posteriori qu'on ignore la paroi opposée.
Q23. Sans supposer $ψ ≪ 1$ , montrer que $th (ψ (z) /4) = γ e^{- z / λ_{D}}$ (5), avec $γ = th (ψ_{0} /4)$ et $ψ_{0} = e ϕ_{0} / (k_{B} T)$ (on pourra dériver $ln th (x /4)$ ).

Corrigé

Q11. Loi de Fick, écrite pour une concentration molaire (elle est linéaire : diviser le flux et la densité particulaires par $N_{A}$ ne change rien) :

$j_{+}^{(D)} = - D_{+} grad c_{+},$

avec $D_{+}$ en $m^{2} \cdot s^{- 1}$ : $[D_{+}] [c_{+}] / m = m^{2} \cdot s^{- 1} \cdot mol \cdot m^{- 4} = mol \cdot m^{- 2} \cdot s^{- 1}$ . Le signe $-$ traduit la diffusion des zones concentrées vers les zones diluées. Ce que le correcteur attend : pas de facteur $N_{A}$ parasite (piège relevé par le jury).

Q12. Le flux total de $Na X^{+}$ est la somme des flux de diffusion et de migration :

$j_{+} = - D_{+} grad c_{+} - e μ_{+} c_{+} grad ϕ = - D_{+} grad c_{+} - μ_{+} k_{B} T c_{+} grad ψ,$

puisque $e ϕ = k_{B} T ψ$ . Sans réaction chimique, le bilan local de matière (conservation des ions) s'écrit $\frac{\partial c _{+}}{\partial t} + div j_{+} = 0$ , d'où, $D_{+}$ et $μ_{+}$ étant uniformes,

$\frac{\partial c _{+}}{\partial t} = D_{+} Δ c_{+} + μ_{+} k_{B} T div (c_{+} grad ψ) .$

Unités : $e ϕ$ est une énergie, $e grad ϕ$ une force ; pour que $e μ_{+} c_{+} grad ϕ$ soit en $mol \cdot m^{- 2} \cdot s^{- 1}$ , $μ_{+}$ est une mobilité mécanique (vitesse par unité de force) en $s \cdot k g^{- 1}$ , ce que confirme la donnée de Q45.

Q13. À l'équilibre thermodynamique, il n'y a aucun flux net : $j_{+} = 0$ en tout point. (Ici, la stationnarité suffit : à une dimension elle impose $j_{+, z}$ uniforme, et $j_{+, z} = 0$ à la paroi imperméable.) Avec $c_{+} = c_{\infty} e^{- ψ}$ , $grad c_{+} = - c_{+} grad ψ$ , et

$j_{+} = (D_{+} - μ_{+} k_{B} T) c_{+} grad ψ = 0 ⟹ D_{+} = μ_{+} k_{B} T (relation d’Einstein).$

La diffusion (agitation thermique) et la migration (force électrique) se compensent exactement : le coefficient de diffusion est la mobilité multipliée par l'énergie thermique.

Q14. Un ion $Cl X^{-}$ de charge $- e$ a l'énergie potentielle $- e ϕ = - k_{B} T ψ$ ; la statistique de Boltzmann donne

$c_{-} = c_{\infty} e^{+ ψ} .$

Loin de la paroi, $ϕ \to 0$ donc $c_{\pm} \to c_{\infty}$ pour les deux ions ; or la solution de $NaCl$ y est électriquement neutre (une mole de $Na X^{+}$ pour une mole de $Cl X^{-}$ ) : les deux concentrations limites sont égales, donc la même constante $c_{\infty}$ convient.

Q15. Chaque mole d'ions porte la charge $\pm e N_{A}$ , d'où

$ρ_{e} = e N_{A} (c_{+} - c_{-}) = e N_{A} c_{\infty} (e^{- ψ} - e^{ψ}) = - 2 e N_{A} c_{\infty} sh ψ .$

Près d'une paroi négative ( $ϕ < 0$ , $ψ < 0$ ), $ρ_{e} > 0$ : les contre-ions positifs s'accumulent.

Q16. Dans le vide, l'équation de Maxwell--Gauss $div E = ρ_{e} / ε_{0}$ et $E = - grad ϕ$ donnent l'équation de Poisson

$Δ ϕ + \frac{ρ _{e}}{ε _{0}} = 0.$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →