Corrigé ENS 2025 Physique U PSI — Partie 2.2 (Q24 à Q34) : Écoulement diffusio-osmotique : Navier-Stokes dans la double couche

Notations de 2.1 (${\overrightarrow{e}}_z$ normal sortant, ${\overrightarrow{e}}_x$ le long du canal, $\psi =e\varphi /(k_{B}T)$, ${\lambda }_D^2={\epsilon }_0{\epsilon }_r{k}_{B}T/(2e^2{\mathcal{N}}_A{c}_{\infty })$, ${\varphi }_0$), mais la concentration loin de la paroi dépend de $x$ : $c_{\infty }(x)$ décroît de $c_{\infty }(0)=c_s$ (eau salée) à $c_{\infty }(L)\simeq 0$ (Figure 3). ${\lambda }_D$ et ${\varphi }_0$ dépendent de $x$, avec toujours ${\lambda }_D\ll L$. Loin de la paroi, $\varphi =0$ (valable si $D_{+}=D_{-}$).

{ Figure 3 — Concentration en sel variable le long de la paroi.}

Le fluide (masse volumique $\rho$, viscosité $\eta$ de l'eau) est incompressible ; sa vitesse $\overrightarrow{v}$ obéit à l'équation de Navier--Stokes

$$\rho \left[\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}\right]=\eta \Delta \overrightarrow{v}-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P+{\overrightarrow{f}}_{\mathrm{vol}}.(6)$$

Q24. ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{vol}}$ est d'origine électrostatique : l'exprimer avec ${\rho }_e$ et $\varphi$.
Q25. Définition du nombre de Reynolds $\mathrm{Re}$ (longueur $L$, vitesse $v$).
Q26. Avec $L=100\mathrm{nm}$ et la loi de Poiseuille $v\simeq \frac{a^2}{8\eta L}\delta \Pi$ (7), où $\delta \Pi =RT\delta c$, $\delta c=0,5\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$, $a\simeq 25\mathrm{nm}$ : ordre de grandeur de $\mathrm{Re}$ ; régime ?
Q27. Régime stationnaire, $\overrightarrow{v}=v(z){\overrightarrow{e}}_x$ près de la paroi : réécrire (6) sans les termes nuls.
Q28. Projection sur ${\overrightarrow{e}}_z$ (en $P$, $\varphi$, ${\rho }_e$ et dérivées en $z$).
Q29. On admet l'équilibre de Boltzmann en tout $x$ : les résultats de 2.1 valent avec $c_{\infty }(x)$, et l'on néglige les dérivées en $x$ dans l'équation de Poisson. Avec Q18, montrer que ${\rho }_e(x,z)=K{c}_{\infty }(x)\psi (x,z)$ (8) et exprimer $K$.
Q30. En déduire $P(x,z)=P_{\infty }(x)+k_{B}T{\mathcal{N}}_A{c}_{\infty }(x)\psi (x,z{)}^2$ (9), $P_{\infty }$ étant la pression loin de la paroi. Pourquoi parler de « pression osmotique » ?
Q31. Avec $P_{\infty }(x)=P_0$ uniforme, projeter sur ${\overrightarrow{e}}_x$ et établir $\eta \frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{z}^2}=k_{B}T{\mathcal{N}}_A\psi (x,z{)}^2\frac{\mathrm{d}{c}_{\infty }}{\mathrm{d}x}$ (10) (on ne néglige pas $\partial \varphi /\partial x$).
Q32. Vitesse au contact (adhérence) ?
Q33. Avec $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}z}=0$ en $z=\infty$, intégrer (10) : vitesse $v_{\infty }$ loin de la paroi en fonction de $\eta$, ${\epsilon }_0$, ${\epsilon }_r$, ${\varphi }_0(x)$, $c_{\infty }(x)$.
Q34. Sens de l'écoulement : du plus concentré vers le moins concentré, ou l'inverse ?