Corrigé ENS 2025 Physique U PSI — Partie 2.3 (Q35 à Q41) : Courant ionique diffusio-osmotique dans un nanocanal

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On modélise le courant d'ions $I_{DO}$ entraîné par l'écoulement de la section 2.2 dans des canaux de section carrée de côté $a$ et de longueur $L$ (Figure 4) ; les réservoirs sont assez grands pour que le profil de concentration soit stationnaire. Les quatre parois portent la charge surfacique $Σ$ ; $v = v (z) e_{x}$ , $z$ étant la distance à la paroi.

{ Figure 4 — Un canal de section $a \times a$ et de longueur $L$ ; canaux serrés les uns contre les autres dans la membrane.}

Q35. On propose $I_{DO} = 4 a \int_{0}^{\infty} ρ_{e} (x, z) v (z) d z$ (11). Dimension de $I_{DO}$ ? Justifier cette forme. Condition de validité sur $a$ et $λ_{D}$ ?

On admet le résultat général (potentiel quelconque) :

$I_{DO} = \frac{K _{osm}}{⟨ c _{\infty} ⟩} \frac{d c _{\infty}}{d x} (12), K_{osm} = 4 a Σ \frac{k _{B} T}{2 π η ℓ _{B}} (1 - \frac{ℓ _{GC}}{λ _{D}} sh^{- 1} \frac{λ _{D}}{ℓ _{GC}}) (13),$

$ℓ_{B} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} ε _{r} k _{B} T}, ℓ_{GC} = \frac{e}{2 π Σ ℓ _{B}} (14),$

où $⟨ c_{\infty} ⟩ = c_{s} /2$ est la moyenne des concentrations des deux réservoirs et $sh^{- 1}$ la réciproque de $sh$ .

Q36. Dimensions de $ℓ_{B}$ et de $ℓ_{GC}$ ?
Q37. Valeur de $ℓ_{B}$ ; quelles énergies cette longueur compare-t-elle ?
Q38. Simplifier (13) pour une charge faible, $ℓ_{GC} ≫ λ_{D}$ . Courant si la membrane n'est pas chargée ?
Q39. Simplifier (13) pour une charge forte, $ℓ_{GC} ≪ λ_{D}$ .
Q40. Ordre de grandeur de $I_{DO}$ dans un canal ( $L = 100 nm$ , $a = 25 nm$ ) entre eau pure et eau à $c_{s} = 0, 5 mol \cdot L^{- 1}$ , la concentration variant linéairement dans le canal, avec $Σ = 1 C \cdot m^{- 2}$ .
Q41. Canaux serrés dans une membrane : courant surfacique en fonction de $I_{DO}$ et $a$ . Vaut-il mieux des canaux étroits ou larges ?

Corrigé

Q35. Dimension : $[ρ_{e}] = C \cdot m^{- 3}$ , $[v] = m \cdot s^{- 1}$ , $[a d z] = m^{2}$ , donc $[I_{DO}] = C \cdot s^{- 1} = A$ : c'est une intensité électrique.

Justification. Le fluide en mouvement entraîne sa charge : la densité volumique de courant de convection est $j = ρ_{e} v = ρ_{e} v (z) e_{x}$ . L'intensité à travers une section droite du canal est le flux de $j$ : $I = \iint ρ_{e} v d S$ . Près d'une paroi, $ρ_{e} v$ ne dépend que de la distance $z$ à cette paroi ; la bande d'aire $a d z$ parallèle à la paroi contribue $ρ_{e} v a d z$ . Les quatre parois du canal carré contribuent de la même façon, d'où le facteur $4 a$ . Au centre du canal, la solution est neutre ( $ρ_{e} = 0$ ) : bien que le fluide y avance à $v_{\infty}$ , il ne porte pas de courant, et l'intégrale peut être étendue à $+ \infty$ puisque $ρ_{e}$ décroît en $e^{- z / λ_{D}}$ .

Validité : $λ_{D} ≪ a$ . Les doubles couches des parois opposées ne se recouvrent pas (chaque paroi se comporte comme une paroi plane infinie isolée, hypothèse de la section 2.1), et les coins, où deux doubles couches se superposent, n'occupent qu'une aire $\sim λ_{D}^{2}$ négligeable devant $4 a λ_{D}$ . Cette formule ne retient que le courant de convection, les flux de diffusion et de migration des deux ions se compensant (hypothèse $D_{+} = D_{-}$ de 2.2).

Q36. $\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} ε _{r} r}$ est l'énergie d'interaction coulombienne de deux charges $e$ à la distance $r$ dans l'eau ; donc $\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} ε _{r}}$ est en $J \cdot m$ et, divisée par l'énergie $k_{B} T$ ,

$[ℓ_{B}] = \frac{J \cdot m}{J} = m .$

Pour $ℓ_{GC}$ : $[Σ ℓ_{B}] = C \cdot m^{- 2} \cdot m = C \cdot m^{- 1}$ , donc $[ℓ_{GC}] = C / (C \cdot m^{- 1}) = m$ . Les deux grandeurs sont des longueurs (longueur de Bjerrum et longueur de Gouy--Chapman).

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