Corrigé ENS 2025 Physique U PSI — Partie 3.1 (Q42 à Q45) : Conductance d'un nanocanal : mesure et loi d'Ohm locale

Pour récupérer le courant ionique sous forme de courant électrique, des électrodes sont placées dans les réservoirs. Pour caractériser la résistance interne $R_c$ d'un canal, on remplit les deux réservoirs de la même concentration en sel $c_s$, on utilise une membrane à un seul canal et l'on impose une tension (source idéale) entre les électrodes en mesurant le courant (Figure 5).

{ Figure 5 — Courant mesuré dans un canal unique (nanotube de nitrure de bore de rayon $a=30\mathrm{nm}$, de longueur $L\simeq 1\mu \mathrm{m}$) pour deux concentrations en sel (données de Siria et al., 2013).}

Q42. Estimer la conductance $G=1/R_c$ du canal pour $c_{s,1}$ et $c_{s,2}$. Comparer $G_1/G_2$ et $c_{s,1}/c_{s,2}$ ; $G$ est-elle proportionnelle à $c_s$ ?

Modèle : $c_{+}=c_{-}=c_s$ uniformes dans le canal ; le champ $\overrightarrow{E}=E{\overrightarrow{e}}_x$, imposé par les électrodes, est uniforme le long du canal ; on admet pour les flux d'ions (en $\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$) la loi d'Ohm locale ${\overrightarrow{j}}_{+}^{(E)}=e{\mu }_{+}{c}_{+}\overrightarrow{E}$ (15).

Q43. Courant électrique $I_{+}$ porté par les ions positifs dans un canal de section carrée $a^2$ et de longueur $L$, en fonction de la différence de potentiel $\Delta V$ entre ses extrémités, de $a$, $L$, ${\mu }_{+}$, $c_s$ et de constantes.
Q44. Même chose pour les ions négatifs (coefficient ${\mu }_{-}>0$) ; courant total $I$ et résistance $R_c$ en fonction de $a$, $L$, ${\mu }_{+}$, ${\mu }_{-}$, $c_s$.
Q45. Valeur de $G=1/R_c$ pour ${\mu }_{+}={\mu }_{-}=5\times 10^{11}\mathrm{s}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, $L=1\mu \mathrm{m}$, $a=30\mathrm{nm}$ ; comparer à Q42.