Corrigé ENS 2025 Physique U PSI — Partie 3.2 (Q46 à Q51) : Générateur équivalent de la membrane et transfert maximal de puissance

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On débranche la source de tension ; un réservoir contient de l'eau salée de concentration $c_{s}$ , l'autre de l'eau pure. Un canal est alors modélisé par une source idéale de courant $I_{DO} = 1 nA$ (section 2.3) en parallèle avec sa résistance interne $R_{c}$ (section 3.1). La membrane compte $N$ canaux, dont les résistances internes sont supposées indépendantes et en parallèle ; on branche entre les électrodes une ampoule de $9 W$ , modélisée par une résistance $r$ .

Q46. Schéma électrique équivalent pour $N = 3$ (en réalité, $N$ est bien plus grand).
Q47. Courant $i$ dans $r$ . Montrer que la membrane équivaut à une source idéale de tension $E$ en série avec une résistance $R$ ; exprimer $E$ et $R$ en fonction de $I_{DO}$ , $R_{c}$ et $N$ .
Q48. Régime continu : bilan d'énergie ; valeur de $r$ qui maximise la puissance $P$ reçue par l'ampoule ; $P_{m a x}$ en fonction de $E$ et $R$ .
Q49. Les $N$ canaux, de section $a^{2}$ avec $a = 25 nm$ , sont alignés et serrés. Puissance maximale par unité de surface de membrane, avec $R_{c} = 1/ G$ pris à la valeur de Q42 pour $c_{s, 2} = 0, 1 mol \cdot L^{- 1}$ .
Q50. Surface nécessaire pour allumer une ampoule de $9 W$ .
Q51. Superficie nécessaire pour égaler un réacteur nucléaire ( $900 MW$ ) ?

Corrigé

Q46. Chaque canal est un générateur de Norton (source de courant $I_{DO}$ en parallèle avec $R_{c}$ ) ; les trois canaux sont en parallèle entre les deux électrodes, aux bornes desquelles est branchée l'ampoule $r$ :

Q47. Les $N$ sources de courant en parallèle équivalent à une source de courant $N I_{DO}$ ; les $N$ résistances $R_{c}$ en parallèle, à $R_{c} / N$ . Le pont diviseur de courant entre $R_{c} / N$ et $r$ donne

$i = N I_{DO} \frac{R _{c} / N}{R _{c} / N + r} = \frac{N I _{DO} R _{c}}{R _{c} + N r} .$

Équivalence Norton--Thévenin : on peut écrire $i = \frac{I _{DO} R _{c}}{R _{c} / N + r} = \frac{E}{R + r}$ , qui est le courant débité dans $r$ par une source idéale de tension $E$ en série avec une résistance $R$ , avec

$E = I_{DO} R_{c}, R = \frac{R _{c}}{N} .$

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