Corrigé ENS 2025 Physique U PSI — Partie 3.3 (Q52 à Q60) : Onduleur en pont sur charge RL : régime permanent et puissance transmise

Sujet officiel du concours ENS, session 2025, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le flux d'un fleuve renouvelle en permanence les réservoirs : la membrane fournit un courant continu. Pour revenir en alternatif, adapté au réseau, on utilise l'onduleur de la Figure 6 : quatre interrupteurs $K_{1}, \dots, K_{4}$ , une résistance $r$ et une bobine d'inductance $L$ (dans cette section, $L$ désigne l'inductance), alimentés par la source osmotique de f.é.m. $E$ et de résistance interne $R$ . Sur chaque période $T$ : pour $0 ⩽ t < T /2$ , $K_{1}$ et $K_{4}$ sont fermés, les autres ouverts ; pour $T /2 ⩽ t < T$ , $K_{2}$ et $K_{3}$ sont fermés, les autres ouverts.

{ Figure 6 — Onduleur alimenté par la source osmotique $(E, R)$ ; $U$ est la tension aux bornes du dipôle ${r, L}$ parcouru par $i$ .}

Q52. Tension $U$ aux bornes de ${r, L}$ dans chaque phase, en fonction de $E$ , $R$ et $i$ .
Q53. Équations différentielles vérifiées par $i$ dans les deux phases.
Q54. Les résoudre sur une première période avec $i (0) = i_{0}$ , en posant $τ = L / (R + r)$ et $I = E / (R + r)$ . Allure de $i (t)$ pour $i_{0} = 0$ .
Q55. En régime permanent, $i$ varie de $- i_{m a x}$ à $i_{m a x}$ pendant la première phase : exprimer $i_{m a x}$ avec $T$ , $τ$ , $I$ (fonction du formulaire).
Q56. (Régime permanent, $t = 0$ au début de la première phase.) Courant $i (t)$ pendant la première phase.
Q57. Puissance moyenne $P_{A C}$ reçue par $r$ (effet Joule) sur une période, en fonction de $r$ , $I$ , $T$ , $τ$ .
Q58. Développements limités de $P_{A C}$ au premier ordre non nul pour $T ≫ τ$ , puis pour $T ≪ τ$ .
Q59. Comparer à la puissance reçue par $r$ branchée directement sur la source $(E, R)$ . Conclure sur le choix de $L$ .
Q60. Valeur de $L$ telle que $T ≃ 10 τ$ à $50 Hz$ , avec $R \sim 1/ G$ (Q42, $c_{s, 2} = 0, 1 mol \cdot L^{- 1}$ ) et $r$ la résistance d'une ampoule de $9 W$ sous $230 V$ . Est-ce raisonnable ?

Corrigé

Q52. Sur la Figure 6, $i$ traverse ${r, L}$ de la gauche vers la droite et la flèche de $U$ pointe vers la gauche : $U = V_{g} - V_{d}$ , potentiel du nœud gauche (entre $K_{1}$ et $K_{2}$ ) moins celui du nœud droit (entre $K_{3}$ et $K_{4}$ ), en convention récepteur. La branche $(E, R)$ impose entre le fil du haut et celui du bas la tension $V_{h} - V_{b} = E - R i_{s}$ , où $i_{s}$ est le courant qui sort de la source par le haut.

Phase 1 ( $K_{1}$ , $K_{4}$ fermés) : le nœud gauche est relié au fil du haut, le nœud droit au fil du bas ; le courant sorti de la source traverse ${r, L}$ dans le sens de $i$ : $i_{s} = i$ . Donc

$U = E - R i .$

Phase 2 ( $K_{2}$ , $K_{3}$ fermés) : le nœud gauche est relié au fil du bas, le nœud droit au fil du haut ; le courant sorti de la source traverse ${r, L}$ de droite à gauche : $i_{s} = - i$ . Donc

$U = V_{b} - V_{h} = - (E - R i_{s}) ⟹ U = - E - R i .$

L'onduleur inverse le branchement de la source à chaque demi-période.

Q53. En convention récepteur, $U = r i + L \frac{d i}{d t}$ . Avec Q52, et $τ = L / (R + r)$ , $I = E / (R + r)$ :

$phase 1 : L \frac{d i}{d t} + (R + r) i = E ⟺ τ \frac{d i}{d t} + i = I,$

$phase 2 : L \frac{d i}{d t} + (R + r) i = - E ⟺ τ \frac{d i}{d t} + i = - I .$

Ce sont des équations du premier ordre, de constante de temps $τ$ ; la bobine impose la continuité du courant aux commutations.

Q54. Phase 1 ( $0 ⩽ t < T /2$ ) : solution générale $i = I + A e^{- t / τ}$ , et $i (0) = i_{0}$ donne

$i (t) = I + (i_{0} - I) e^{- t / τ};$

à la fin de la phase, $i_{1} = i (T /2) = I + (i_{0} - I) e^{- T / (2 τ)}$ .

Phase 2 ( $T /2 ⩽ t < T$ ) : $i = - I + B e^{- (t - T /2) / τ}$ , et la continuité $i (T /2) = i_{1}$ donne

$i (t) = - I + (i_{1} + I) e^{- (t - T /2) / τ} .$

Pour $i_{0} = 0$ : $i = I (1 - e^{- t / τ})$ , puis $i = - I + I (2 - e^{- T / (2 τ)}) e^{- (t - T /2) / τ}$ . Tracé pour $T = 4 τ$ , sur deux périodes pour montrer l'établissement du régime permanent :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →