Corrigé ENS 2026 Chimie B PC — Partie 1.3 (début) (Q21 à Q29) : Mécanisme d'Eigen-Tamm, scandium, absorption ultrasonore

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Chimie B PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Eigen et Tamm décrivent l'association d'un cation $C X^{c +}$ et d'un anion $A X^{a -}$ en trois étapes : paire séparée par le solvant (SSIP, deux molécules d'eau intercalées, formation contrôlée par la diffusion), paire à solvant partagé (SIP, une molécule d'eau), puis paire de contact (CIP) :

{Figure 2 — Association ionique progressive selon Eigen et Tamm}

$C X^{c +} + A X^{a -} + 2 H X_{2} O K X_{1} C X^{c +} (H X_{2} O) X_{2} A X^{a -} K X_{2} C X^{c +} (H X_{2} O) A X^{a -} + H X_{2} O$
$C X^{c +} (H X_{2} O) A X^{a -} + H X_{2} O K X_{3} C X^{c +} A X^{a -} + 2 H X_{2} O$

$[IP] = [SSIP] + [SIP] + [CIP]$ est la concentration totale des paires et

$K_{A} = \frac{[ IP ] _{eq} c ^{\circ}}{[ C X ^{c +} ] _{eq} [ A X ^{a -} ] _{eq}} .$

Q21. Exprimer $K_{A}$ en fonction de $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ .
Q22. Donner la configuration électronique fondamentale du scandium ( $Z = 21$ ) en citant les règles utilisées.
Q23. Commenter le degré d'oxydation du scandium dans la paire $Sc X^{3 +} SO X_{4} X^{2 -}$ .

On étudie $SO X_{4} X^{2 -} + Sc X^{3 +} = Sc X^{3 +} SO X_{4} X^{2 -}$ sous une onde de pression $P (x, t) = P_{0} e^{i ω (t - x / v)}$ . Compressibilité adiabatique totale $χ_{tot}$ ; $χ_{0}$ statique ( $f = 0$ ), $χ_{\infty}$ instantanée ( $f \to \infty$ ), $χ^{'}$ partie de relaxation, $τ$ temps de relaxation. Avec $s = χ_{tot} P$ , $s_{0} = χ_{0} P$ , $s_{\infty} = χ_{\infty} P$ :

$\frac{d ( s - s _{\infty} )}{d t} = \frac{s _{0} - s}{τ} .$

Q24. $χ_{tot}$ étant indépendante du temps, montrer que $χ_{tot} = \frac{χ _{r}}{1 + i ω τ} + χ_{\infty}$ et exprimer $χ_{r}$ .
Q25. En déduire $χ^{'}$ .
Q26. Avec $v^{2} = 1/ (ρ χ_{tot})$ , montrer que $\frac{1}{v ^{2}} = ρ (\frac{χ _{0} + ω ^{2} τ ^{2} χ _{\infty}}{1 + ω ^{2} τ ^{2}} - i \frac{( χ _{0} - χ _{\infty} ) ω τ}{1 + ω ^{2} τ ^{2}})$ ; interpréter la partie imaginaire.
Q27. L'onde absorbée s'écrit aussi $P = P_{0} e^{- Q x} e^{i ω (t - x / c)}$ ( $Q$ : coefficient d'atténuation, $c$ : célérité) ; exprimer $1/ v^{2}$ en fonction de $c$ , $ω$ , $Q$ .
Q28. Avec $c^{2} = 1/ (ρ χ_{0})$ , montrer que $Q λ = \frac{π χ _{r}}{χ _{0}} \frac{ω τ}{1 + ω ^{2} τ ^{2}}$ .
Q29. Tracer l'allure de $Q λ = f (ω)$ et préciser la pulsation du maximum.

Corrigé

Q21. L'eau, solvant, a une activité égale à 1. Les trois lois d'action des masses donnent

$[SSIP] = K_{1} \frac{[ C X ^{c +} ] [ A X ^{a -} ]}{c ^{\circ}}, [SIP] = K_{2} [SSIP], [CIP] = K_{3} [SIP] = K_{2} K_{3} [SSIP] .$

Toutes les paires comptant dans $[IP]$ :

$K_{A} = \frac{([ SSIP ] + [ SIP ] + [ CIP ]) c ^{\circ}}{[ C X ^{c +} ] [ A X ^{a -} ]} = K_{1} (1 + K_{2} + K_{2} K_{3}) = K_{1} (1 + K_{2} (1 + K_{3})) .$

(Si l'on ne retenait que la paire de contact, on aurait $K_{1} K_{2} K_{3}$ ; la définition de l'énoncé, avec $[IP]$ , est celle mesurée globalement, car les trois paires ne se distinguent pas en conductimétrie.)

Q22. Règle de Klechkowski (remplissage par $n + ℓ$ croissant, puis $n$ croissant à $n + ℓ$ égal), principe d'exclusion de Pauli (au plus deux électrons par orbitale, de spins opposés) et règle de Hund (occupation maximale des orbitales dégénérées à spins parallèles, ici sans objet pour un seul électron $3 d$ ) :

$Sc : 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{1} = [Ar] 4 s^{2} 3 d^{1} .$

Le scandium est le premier élément du bloc $d$ (4^e période, colonne 3) ; il possède 3 électrons de valence.

Q23. Dans $Sc X^{3 +}$ , le degré d'oxydation est $+ III$ : le scandium a perdu ses trois électrons de valence ( $4 s^{2}$ puis $3 d^{1}$ ) et adopte la configuration $[Ar]$ du gaz noble précédent, très stable. C'est son seul degré d'oxydation courant (on ne peut plus arracher d'électrons de valence, et $Sc X^{2 +}$ , $[Ar] 3 d^{1}$ , est très réducteur). $Sc X^{3 +}$ , petit et triplement chargé, est un cation dur à fort pouvoir polarisant : il s'apparie fortement à $SO X_{4} X^{2 -}$ (et il est acide en solution aqueuse).

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