Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie I.1 (Q1 à Q3) : Équation de d'Alembert, relation de dispersion et fronts d'onde plans

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Données de tout le problème (air sec à $2 0^{\circ} C$ ) : $P_{0} = 1, 013 \times 1 0^{5} Pa$ , $T_{0} = 293, 1 K$ , $ρ_{0} = 1, 204 kg \cdot m^{- 3}$ , $c = 343, 5 m \cdot s^{- 1}$ , $c_{P} = 1004 J \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$ , $c_{V} = 717 J \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$ , $κ = 0, 025 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $γ = c_{P} / c_{V} = 1, 400$ ; eau : $ρ_{e} = 1000 kg \cdot m^{- 3}$ . Calculatrice interdite ; le formulaire donne une table de $exp (- x)$ , le gradient et le laplacien en coordonnées sphériques et le déterminant d'une matrice $3 \times 3$ .

La surpression $p (r, t)$ (pression totale $P = P_{0} + p$ ) obéit à

$Δ p - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = 0. (1)$

Q1. Nommer l'équation (1).
Q2. À quelle condition sur $ω ⩾ 0$ et $k = k$ la famille $p_{k, ω} (r, t) = p_{k, ω}^{(0)} cos (k \cdot r - ω t)$ (2) est-elle solution de (1) ? Nom de cette relation ?
Q3. Un front d'onde est une surface connexe d'égale phase $φ (r, t) = φ (r_{0}, t_{0})$ . Géométrie des fronts d'onde de la solution (2) et mouvement de ces fronts ?

Corrigé

Q1. L'équation (1) est l'équation de d'Alembert (équation des ondes) à trois dimensions, avec la célérité $c$ . Elle est linéaire, du second ordre en temps et en espace, et invariante par renversement du temps $t \to - t$ : elle décrit une propagation sans atténuation (aucune dérivée d'ordre impair en temps) et non dispersive.

Q2. Pour $p = p^{(0)} cos (k \cdot r - ω t) = p^{(0)} cos (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)$ , chaque dérivée seconde d'espace fait sortir un facteur $- k_{i}^{2}$ :

$Δ p = - (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) p = - k^{2} p, \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = - ω^{2} p .$

En reportant dans (1) : $(- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}}) p = 0$ pour tout $(r, t)$ . Une solution non identiquement nulle ( $p^{(0)} \neq = 0$ ) impose

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