Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie I.2 (Q4 à Q12) : Équations linéarisées de l'acoustique, célérité du son et oscillation de température

Q4. Système : une particule de fluide, de masse $m$ fixée (système fermé), de volume $V$. Sa masse volumique totale est ${\rho }_{\mathrm{tot}}={\rho }_0+\rho =m/V$, donc, à $m$ constante,

$$\frac{\mathrm{d}{\rho }_{\mathrm{tot}}}{{\rho }_{\mathrm{tot}}}=-\frac{\mathrm{d}V}{V}.$$

La transformation étant isentropique, $\mathrm{d}V/V=-{\chi }_S\mathrm{d}P$ où ${\chi }_S$ dépend de l'état $(P,S)$. Entre l'équilibre ($P_0$, ${\rho }_0$) et l'état perturbé ($P_0+p$, ${\rho }_0+\rho$) :

$$\ln \frac{{\rho }_0+\rho }{{\rho }_0}={\int }_{P_0}^{P_0+p}{\chi }_S(P)\mathrm{d}P.$$

Approximation acoustique : les perturbations sont des infiniment petits du premier ordre ($\left|\rho \right|\ll {\rho }_0$, et de même $\left|p\right|\ll P_0$ : pour un son usuel $p\sim 1\mathrm{Pa}$). On linéarise : $\ln (1+\rho /{\rho }_0)\simeq \rho /{\rho }_0$ et ${\chi }_S(P)\simeq {\chi }_S(P_0)$ sur l'intervalle, les corrections étant d'ordre $(\rho /{\rho }_0{)}^2$ et ${\chi }_{S}p\times (p/P_0)$. Il reste

$$\boxed{\rho \simeq {\rho }_0{\chi }_{S}p}(3)$$

avec ${\chi }_S$ évalué à l'équilibre. Enfin, (3) relie les grandeurs d'une même particule ; écrite au point fixe $\overrightarrow{r}$, elle n'est modifiée qu'au second ordre (le déplacement de la particule est lui-même d'ordre un).

Q5. Loi de Laplace : pour un gaz parfait de $\gamma$ constant subissant une transformation adiabatique réversible (isentropique), $P{V}^{\gamma }=\text{cte}$. En différentiant le logarithme : $\frac{\mathrm{d}P}{P}+\gamma \frac{\mathrm{d}V}{V}=0$, d'où ${\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_S=-\frac{V}{\gamma P}$ et, à l'équilibre,

$$\boxed{{\chi }_S=\frac{1}{\gamma P_0}}\approx \frac{1}{1,4\times 10^5}\approx 7\times 10^{-6}\mathrm{P}{\mathrm{a}}^{-1}.$$

Elle ne dépend ni de $T_0$ ni de ${\rho }_0$ séparément (le gaz parfait n'a que $P_0$ pour échelle de pression).

Q6. Conservation de la masse (équation locale) : $\frac{\partial {\rho }_{\mathrm{tot}}}{\partial t}+\mathrm{div}({\rho }_{\mathrm{tot}}\overrightarrow{v})=0$. Au repos le fluide est immobile et homogène : $\overrightarrow{v}$ et $\rho$ sont d'ordre un, ${\rho }_0$ est uniforme et constant. Au premier ordre, $\mathrm{div}(({\rho }_0+\rho )\overrightarrow{v})\simeq {\rho }_0\mathrm{div}\overrightarrow{v}$ (le terme $\rho \overrightarrow{v}$ est d'ordre deux), et $\partial {\rho }_{\mathrm{tot}}/\partial t=\partial \rho /\partial t$ :