Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie I.3 (Q13 à Q22) : Hypothèse isentropique, loi de Fourier et équation de la diffusion thermique

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On revient sur l'hypothèse de transformation locale isentropique. $j_{Q}$ est le vecteur densité de courant thermique, $κ$ la conductivité thermique de l'air, $s$ son entropie massique ; $T (r, t)$ désigne l'écart de température à $T_{0}$ . Jusqu'à Q22, les transformations sont isobares et lentes (fluide en équilibre mécanique).

Q13. Quelles sont les deux conditions de validité de l'hypothèse isentropique ? Pourquoi la vitesse doit-elle être très faible ?
Q14. Sans création d'entropie, comment varie l'entropie $S$ d'un volume $V$ de fluide recevant un transfert thermique $Q$ du milieu extérieur à $T_{0}$ ?
Q15. Par un schéma d'un volume $d V = d x d y d z$ centré en $(x, y, z)$ , montrer que le transfert thermique reçu pendant $d t$ est $δ Q = - d V d t div j_{Q}$ .
Q16. Rappeler la loi de Fourier.
Q17. Par le premier principe, montrer qu'en l'absence de travail $δ Q = ρ_{0} c_{P} d V d T$ , puis que $d s = \frac{c _{P}}{T _{0}} d T$ (7).
Q18. Pour $κ$ uniforme, montrer que $ρ_{0} \frac{d s}{d t} = \frac{κ}{T _{0}} Δ T$ (8).
Q19. En déduire l'équation de la diffusion thermique et le coefficient de diffusion $D$ en fonction de $ρ_{0}$ , $κ$ , $c_{P}$ .
Q20. Pour $T$ et $s$ de la forme OPPH (6), montrer que $B (ω, k)^{t} (T, s) = 0$ avec

$B (ω, k) = c_{P} - \frac{κ}{T _{0}} k^{2} - T_{0} i ω ρ_{0} .$

Q21. Condition d'existence de solutions non triviales : relation entre $ω$ et $k$ faisant intervenir $D$ .
Q22. Que vaut $κ$ dans l'hypothèse isentropique qui a conduit à l'équation de l'onde sonore ?

Corrigé

Q13. Isentropique $=$ adiabatique (aucun transfert thermique) et réversible (aucune création d'entropie), puisque $Δ S = S_{e ˊ ch} + S_{cr e ˊ e ˊ e}$ .

Adiabatique : la conduction thermique n'a pas le temps d'égaliser les températures entre zones comprimées (chaudes, Q12) et dilatées (froides) séparées de $λ /2$ . Il faut que la durée de diffusion sur une demi-longueur d'onde, $τ_{diff} \sim λ^{2} / D$ , soit grande devant la période $2 π / ω$ (on le vérifiera en Q28 : à $1 kHz$ , la longueur de diffusion $2 D / ω \approx 80 μ m$ est très petite devant $λ \approx 34 cm$ ).
Réversible : pas de phénomène dissipatif, en particulier pas de frottement visqueux ni d'onde de choc.

Rôle de la vitesse : la puissance dissipée par viscosité est quadratique dans les gradients de vitesse, $\sim η (\partial v / \partial z)^{2} \sim η k^{2} v^{2}$ par unité de volume ; l'entropie créée est donc du second ordre en $v$ et négligeable si les vitesses sont très faibles. De plus, $v ≪ c$ garantit le caractère linéaire de la propagation (termes convectifs négligeables, Q7) : sinon les zones comprimées, plus chaudes et plus rapides, rattrapent les autres, le front se raidit en choc et crée de l'entropie.

Q14. Second principe pour le système fermé : $Δ S = S_{e ˊ ch} + S_{cr e ˊ e ˊ e}$ avec $S_{e ˊ ch} = Q / T_{0}$ (échange avec un milieu à $T_{0}$ ) et $S_{cr e ˊ e ˊ e} = 0$ :

$Δ S = \frac{Q}{T _{0}} (sous forme e ˊ l e ˊ mentaire : d S = δ Q / T_{0}).$

L'entropie croît si le volume reçoit de la chaleur, décroît s'il en cède.

Q15. Schéma et bilan selon $e_{x}$ .

Pendant $d t$ , la face d'abscisse $x - d x /2$ (aire $d y d z$ ) laisse entrer $j_{Q, x} (x - d x /2) d y d z d t$ et la face d'abscisse $x + d x /2$ laisse sortir $j_{Q, x} (x + d x /2) d y d z d t$ . Transfert net reçu à travers ces deux faces, au premier ordre en $d x$ :

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