Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie I.3 (suite) (Q23 à Q28) : Couplage thermo-mécanique : atténuation du son par conduction thermique

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Hors transformation isentropique, on écrit

$ρ = (\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S} p + (\frac{\partial ρ}{\partial s})_{P} s, T = (\frac{\partial T}{\partial P})_{S} p + (\frac{\partial T}{\partial s})_{P} s,$

avec $(\frac{\partial ρ}{\partial s})_{P} = - \frac{ρ _{0} β T _{0}}{c _{P}}$ , $(\frac{\partial T}{\partial s})_{P} = \frac{T _{0}}{c _{P}}$ , où $β = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_{P}$ est le coefficient de dilatation isobare (dérivées prises à l'équilibre).

Q23. Exprimer $β$ pour un gaz parfait.
Q24. Sachant que, pour un gaz parfait, $(\frac{\partial T}{\partial P})_{S} = \frac{T _{0} β}{ρ _{0} c _{P}}$ , expliciter $ρ$ et $T$ en fonction de $p$ et $s$ .
Q25. Montrer que, pour une OPPH (6), les amplitudes vérifient $M (ω, k)^{t} (ρ, v, p, T, s) = 0$ , où la matrice $5 \times 5$ $M$ a pour blocs diagonaux $A (ω, k)$ (lignes 1 à 3) et $B (ω, k)$ (lignes 4 et 5), pour seuls termes de couplage $M_{35} = ρ_{0} / c_{P}$ et $M_{43} = - 1/ ρ_{0}$ , et des zéros ailleurs.

On admet $det M = det A det B - \frac{κ ρ _{0}}{c _{P} T _{0}} (k ω)^{2}$ . Pour $κ$ faible, on cherche à $ω$ donné $k = k_{0} + ε$ , où $k_{0}$ (partie réelle positive) est le nombre d'onde pour $κ = 0$ et $ε$ une petite correction.

Q26. Par un développement limité au premier ordre en $ε$ , montrer que

$ε ≃ \frac{\frac{κ ρ _{0}}{c _{P} T _{0}} ( k _{0} ω ) ^{2}}{\frac{\partial d e t A}{\partial k} _{k_{0}} det B ( ω , k _{0} ) - 2 \frac{κ ρ _{0}}{c _{P} T _{0}} ω ^{2} k _{0}} . (9)$

Q27. En déduire $Im k$ à l'ordre le plus bas en $κ$ , en fonction de $k_{0}$ et $ω / ω_{th}$ avec $ω_{th} = 2 c_{P}^{2} T_{0} ρ_{0} / κ$ , puis la longueur d'atténuation $δ$ de l'intensité sonore.
Q28. Évaluer $δ$ à $1 kHz$ et conclure.

Corrigé

Q23. Pour un gaz parfait, $V = n R T / P$ , donc à $P$ fixé $(\frac{\partial V}{\partial T})_{P} = \frac{n R}{P} = \frac{V}{T}$ et

$β = \frac{1}{T _{0}} \approx 3, 4 \times 1 0^{- 3} K^{- 1} .$

Q24. Avec $β = 1/ T_{0}$ et $(\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S} = ρ_{0} χ_{S}$ (relation (3), Q4), $χ_{S} = 1/ (γ P_{0})$ (Q5) :

$ρ = ρ_{0} χ_{S} p - \frac{ρ _{0}}{c _{P}} s = \frac{ρ _{0}}{γ P _{0}} p - \frac{ρ _{0}}{c _{P}} s, T = \frac{p}{ρ _{0} c _{P}} + \frac{T _{0}}{c _{P}} s .$

Vérifications. À $s = 0$ , on doit retrouver Q12 : $\frac{1}{ρ _{0} c _{P}} = \frac{γ - 1}{γ} \frac{T _{0}}{P _{0}}$ ? Pour un gaz parfait, $P_{0} = ρ_{0} r T_{0}$ avec $r = c_{P} - c_{V}$ (relation de Mayer massique), et $\frac{γ - 1}{γ} = \frac{c _{P} - c _{V}}{c _{P}} = \frac{r}{c _{P}}$ : le second membre vaut $\frac{r T _{0}}{c _{P} ρ _{0} r T _{0}} = \frac{1}{ρ _{0} c _{P}}$ . Cohérent. À $p = 0$ (isobare), $T = T_{0} s / c_{P}$ redonne (7) ; et un apport d'entropie à pression constante échauffe et dilate le gaz ( $ρ$ diminue), d'où le signe $-$ .

Q25. On reporte (6) dans les cinq équations linéarisées, en rangeant les inconnues dans l'ordre $(ρ, v, p, T, s)$ :

conservation de la masse (4) : $- i ω ρ + i k ρ_{0} v = 0$ — ligne 1 de $A$ , inchangée ;
équation d'Euler (5) : $- i ω ρ_{0} v + i k p = 0$ — ligne 2, inchangée ;
première relation de Q24 : $ρ - ρ_{0} χ_{S} p + \frac{ρ _{0}}{c _{P}} s = 0$ — ligne 3 de $A$ complétée par $ρ_{0} / c_{P}$ dans la colonne de $s$ ;
seconde relation de Q24, multipliée par $c_{P}$ : $- \frac{1}{ρ _{0}} p + c_{P} T - T_{0} s = 0$ — ligne 1 de $B$ complétée par $- 1/ ρ_{0}$ dans la colonne de $p$ ; elle remplace la relation isobare (7), qui n'est plus valable hors équilibre mécanique ;
bilan d'entropie (8), qui ne suppose que l'absence de création d'entropie et reste donc valable : $- \frac{κ}{T _{0}} k^{2} T + i ω ρ_{0} s = 0$ — ligne 2 de $B$ .

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