Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie II.1 (Q29 à Q40) : Onde sphérique émise par une sphère pulsante : impédance, débit et puissance rayonnée

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une sphère de centre $O$ , de rayon $R (t) = R_{0} + ϵ (t)$ avec $ϵ (t) = ϵ_{ω} e^{- i ω t}$ petit, émet dans un espace infini sans obstacle. On utilise $g (r) = \frac{1}{4 π r} e^{i k r}$ . Les équations (1), (4), (5) de la Partie I restent valables.

Q29. Pourquoi $p$ , $ρ$ , $T$ ne dépendent-ils que de $t$ et de $r = r$ ?
Q30. Montrer que $p (r, t) = \frac{1}{r} f (t - \frac{r}{c})$ , $f$ quelconque, est solution de (1).
Q31. En déduire que la solution harmonique complexe est nécessairement $p = A_{ω} g (r) e^{- i ω t}$ (10), « onde sphérique progressive harmonique » (OSPH).
Q32. Par l'invariance par renversement du temps, trouver une deuxième solution indépendante.
Q33. Montrer à partir de (4) que la masse $M (r, t)$ d'air dans la boule de rayon $r$ vérifie $\frac{d M}{d t} = - 4 π r^{2} ρ_{0} v_{r} (r, t)$ ; justifier que la vitesse moyennée sur une période est nulle.
Q34. Par (5), justifier que la vitesse de l'OSPH est radiale et s'écrit $v_{r} = B_{ω} g (r) (1 - \frac{1}{i k r}) e^{- i ω t}$ .
Q35. Avec l'impédance acoustique $Z = lim_{r \to \infty} p / v_{r}$ , montrer que $Z = A_{ω} / B_{ω} = c ρ_{0}$ .
Q36. Condition aux limites sur la sphère : relation entre $R (t)$ et $v_{r} (R (t), t)$ ; exprimer $ϵ_{ω}$ en fonction de $B_{ω}$ , $ω$ , $k$ , $R_{0}$ , $g (R_{0})$ pour $ϵ ≪ c / ω$ et $ϵ ≪ R_{0}$ .
Q37. Écrire le débit volumique $S (t)$ de la source en fonction de $R$ et $v_{r}$ ; relier son amplitude $S_{ω}$ à $ϵ_{ω}$ , puis à $B_{ω}$ .
Q38. Le flux de puissance surfacique moyen est $Π (r) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} Re [p] Re [v] d t$ . L'exprimer simplement à l'aide de $p v^{*}$ .
Q39. Exprimer la puissance moyenne $Φ (r)$ à travers la sphère de rayon $r$ ; montrer qu'elle ne dépend pas de $r$ , l'écrire avec $Z$ et $∣ B_{ω} ∣^{2}$ ; principe en jeu ? En déduire $Φ$ en fonction du débit, puis sa limite pour une source petite devant la longueur d'onde (avec $Z$ , $∣ S_{ω} ∣^{2}$ , $k$ ).
Q40. Exprimer $∣ ϵ_{ω} ∣$ en fonction de $R_{0}$ , $ω$ , $c$ , $Z$ , $Φ$ . Application : $1 kHz$ , $R_{0} = 1, 5 cm$ , $Φ = 1 W$ . L'approximation de Q36 est-elle respectée ?

Corrigé

Q29. Le milieu (air au repos, infini, homogène et isotrope) et la source (sphère pulsante centrée en $O$ ) sont invariants par toute rotation autour de $O$ : c'est la symétrie sphérique. Par le principe de Curie, les effets (les champs scalaires $p$ , $ρ$ , $T$ ) ont au moins les symétries des causes : ils sont invariants par rotation autour de $O$ et ne peuvent dépendre de $θ$ et $φ$ . Ils ne dépendent que de $r$ et de $t$ .

Q30. Pour un champ ne dépendant que de $r$ , le formulaire donne $Δ p = \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial p}{\partial r})$ , qui s'écrit aussi $\frac{1}{r} \frac{\partial ^{2} ( r p )}{\partial r ^{2}}$ : en effet $\frac{\partial ^{2} ( r p )}{\partial r ^{2}} = r \frac{\partial ^{2} p}{\partial r ^{2}} + 2 \frac{\partial p}{\partial r}$ et $\frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial p}{\partial r}) = \frac{\partial ^{2} p}{\partial r ^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial p}{\partial r}$ . Avec $r p = f (u)$ , $u = t - r / c$ :

$Δ p = \frac{1}{r} \frac{\partial ^{2} f}{\partial r ^{2}} = \frac{1}{r c ^{2}} f^{''} (u), \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial t ^{2}} = \frac{1}{r c ^{2}} f^{''} (u) .$

Donc $Δ p - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} p = 0$ en tout point $r \neq = 0$ (hors de la source) : $p = \frac{1}{r} f (t - r / c)$ est solution de (1). C'est une onde sphérique divergente, dont l'amplitude décroît en $1/ r$ .

Q31. D'après Q30, $ψ = r p$ vérifie l'équation de d'Alembert à une dimension $\partial_{r}^{2} ψ - c^{- 2} \partial_{t}^{2} ψ = 0$ , dont la solution générale est $ψ = f (t - r / c) + h (t + r / c)$ . En régime harmonique de pulsation $ω$ (dépendance $e^{- i ω t}$ ) :

$p = \frac{a}{r} e^{- i ω (t - r / c)} + \frac{b}{r} e^{- i ω (t + r / c)} = (\frac{a e ^{i k r}}{r} + \frac{b e ^{- i k r}}{r}) e^{- i ω t} (k = ω / c) .$

Le terme en $b$ est une onde convergente, venant de l'infini. L'espace étant infini et sans obstacle, et la seule source étant la sphère, aucune onde ne peut venir de l'infini (condition de rayonnement, ou causalité) : $b = 0$ . Il reste, avec $A_{ω} = 4 π a$ ,

$p (r, t) = A_{ω} g (r) e^{- i ω t} . (10)$

Q32. L'équation (1) ne contient que des dérivées secondes par rapport au temps : si $p (r, t)$ est solution, $p (r, - t)$ l'est aussi. Appliqué à la solution réelle $\frac{1}{r} f (t - r / c)$ , cela donne $\frac{1}{r} f (- t - r / c) = \frac{1}{r} F (t + r / c)$ avec $F (u) = f (- u)$ : une onde sphérique convergente. En notation complexe (on conjugue pour garder la dépendance $e^{- i ω t}$ , ce qui est licite pour une équation à coefficients réels) :

$p_{2} (r, t) = A_{ω}^{'} g^{*} (r) e^{- i ω t} = \frac{A _{ω}^{'}}{4 π r} e^{- i (k r + ω t)},$

indépendante de (10) puisque le rapport $g^{*} / g = e^{- 2 i k r}$ n'est pas constant. C'est l'onde écartée en Q31 : elle décrirait par exemple une onde focalisée vers $O$ .

Q33. $M (r, t) = ∭_{B (r)} (ρ_{0} + ρ) d τ$ sur une boule fixe. D'après (4) et le théorème de Green-Ostrogradski :

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