Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie II.3 (Q49 à Q55) : Effet de sol : source image, interférences et filtre en peigne

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On étudie avec une seule oreille la perception de l'élévation d'une source, due à la présence du sol (plan $z = 0$ , rigide).

{ Figure 2 — Géométrie de l'effet de sol : source à la hauteur $h$ , auditeur à la hauteur $H$ , à la distance $L$ au sol ; source virtuelle symétrique de la source par rapport au sol.}

Q49. Condition aux limites sur la vitesse de l'air au sol rigide ; en déduire, avec (5), une condition sur la surpression au sol.
Q50. La solution dans le demi-espace $z > 0$ est $p (r, t) = p_{1} (r - r_{0}, t) + p_{1} (r - r_{S}, t)$ , où $p_{1} (r, t)$ est la solution en espace libre d'une source ponctuelle placée en $0$ . Avec $r_{0} = r_{0, ⊥} + h e_{z}$ et $r = r_{⊥} + z e_{z}$ , justifier qu'elle est solution et qu'elle respecte les conditions aux limites (i) au sol et (ii) à l'infini.
Q51. Source monochromatique de pulsation $ω$ : surpression à la position de l'auditeur, en fonction de $h$ , $H$ , $L$ , $A_{ω}$ , $k$ , $ω$ ?
Q52. Avec $I = C ∣ p ∣^{2}$ , montrer que $I = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2} cos [\frac{ω}{c} (r_{1} - r_{2})]$ (11), où $I_{1}$ , $I_{2}$ sont les intensités dues à l'onde directe et à l'onde réfléchie, $r_{1} = r - r_{0}$ , $r_{2} = r - r_{S}$ .
Q53. Intensité $I_{0}$ sans sol ? Pour $L ≫ H$ et $L ≫ h$ , montrer que $r_{1} - r_{2} ≃ - 2 H h / L$ ; en déduire $I / I_{0}$ en fonction de $ω$ , $c$ , $h$ , $H$ , $L$ .
Q54. Représenter $I / I_{0}$ en fonction de l'élévation $h$ convenablement normalisée.
Q55. Montrer que l'intensité chute brutalement pour certaines pulsations $ω_{n}$ . Comment varie l'écart $Δ ω$ entre deux pulsations d'annulation quand $h$ augmente ? À quelle expérience d'un autre domaine de la physique relier ce phénomène ?

Corrigé

Q49. Le sol rigide est imperméable et immobile : la composante normale de la vitesse de l'air y est nulle,

$v_{z} (x, y, z = 0, t) = 0 pour tout (x, y, t)$

(l'air parfait peut glisser tangentiellement). La projection de (5) sur $e_{z}$ , $ρ_{0} \partial v_{z} / \partial t = - \partial p / \partial z$ , évaluée en $z = 0$ , donne

$\frac{\partial p}{\partial z}_{z = 0} = 0$

(condition de Neumann : le sol rigide est un « nœud de vitesse » et un « ventre de pression »).

Q50. Équation de propagation. $p_{1} (r, t)$ vérifie (1) partout sauf en $0$ (source). L'équation (1) est invariante par translation (milieu homogène) : $p_{1} (r - r_{0}, t)$ la vérifie partout sauf en $r_{0}$ , et $p_{1} (r - r_{S}, t)$ partout sauf en $r_{S}$ . L'équation étant linéaire, leur somme la vérifie dans tout le demi-espace $z > 0$ privé de $r_{0}$ ; la source virtuelle, en $z = - h < 0$ , est hors du domaine physique, donc on n'y introduit aucune source fictive.

(i) Au sol. Avec $r_{S} = r_{0, ⊥} - h e_{z}$ : $r_{1}^{2} = r_{⊥} - r_{0, ⊥}^{2} + (z - h)^{2}$ et $r_{2}^{2} = r_{⊥} - r_{0, ⊥}^{2} + (z + h)^{2}$ . Donc

$\frac{\partial p}{\partial z} = \frac{\partial p _{1}}{\partial r} (r_{1}, t) \frac{z - h}{r _{1}} + \frac{\partial p _{1}}{\partial r} (r_{2}, t) \frac{z + h}{r _{2}} .$

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