Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie III.1 (Q56 à Q59) : Modèle passif de Helmholtz de la cochlée : oscillateurs forcés et tonotopie

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'onde sonore fait vibrer le tympan et les osselets (marteau, enclume, étrier), qui transmettent la vibration à la cochlée, cavité osseuse de l'oreille interne ; elle y met en mouvement la membrane basilaire. (La Figure 3 du sujet est une planche anatomique de l'oreille externe, moyenne et interne ; aucune mesure n'y est à lire.)

Modèle de Helmholtz (1885) : la membrane basilaire est un ensemble d'éléments $n$ ; le déplacement $x_{n}$ de l'élément $n$ est celui d'un oscillateur harmonique amorti de masse $m_{n}$ , de raideur $k_{n}$ , de coefficient de frottement visqueux $h_{n}$ , soumis à une force $f_{n} (t)$ due à l'onde sonore. Les cellules ciliées internes mesurent l'amplitude de $x_{n}$ .

{ Figure 4 — (a) Cochlée enroulée en spirale de la base à l'apex, contenant la membrane basilaire. (b) Modèle mécanique de Helmholtz : oscillateurs indépendants de positions $z_{n}$ .}

Q56. Équation différentielle de $x_{n}$ ; pulsation de résonance $ω_{n}$ et facteur de qualité $Q_{n}$ ?
Q57. Pour un son pur, $f_{n} (t) = f_{n} e^{- i ω t}$ avec $f_{n}$ réel ; on écrit $x_{n} = x_{n} e^{- i ω t}$ , $x_{n} = ∣ x_{n} ∣ e^{i ϕ_{n}}$ . Déterminer $∣ x_{n} ∣$ et $ϕ_{n}$ ; tracer leur allure en fonction de $ω$ .
Q58. La masse $m_{n}$ est la même pour tous les éléments et $k_{n} = k_{0} exp (- z_{n} / l)$ avec $l = 0, 7 cm$ . Comment évolue $ω_{n}$ le long de la membrane, de longueur $L = 3, 5 cm$ ? Pourquoi parle-t-on de « capteur acoustique à arc-en-ciel » ?
Q59. Estimer le rapport des fréquences maximale et minimale détectables ; comparer à la gamme de l'oreille humaine et commenter.

Corrigé

Q56. Système : l'élément $n$ de masse $m_{n}$ , dans le référentiel du crâne supposé galiléen ; $x_{n}$ est compté à partir de la position d'équilibre (le poids éventuel est compensé à l'équilibre). Forces : rappel élastique $- k_{n} x_{n}$ , frottement visqueux $- h_{n} x ˙_{n}$ , forçage $f_{n} (t)$ . Principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe $x$ :

$m_{n} x ¨_{n} + h_{n} x ˙_{n} + k_{n} x_{n} = f_{n} (t) ⟺ x ¨_{n} + \frac{ω _{n}}{Q _{n}} x ˙_{n} + ω_{n}^{2} x_{n} = \frac{f _{n} ( t )}{m _{n}},$

$ω_{n} = \frac{k _{n}}{m _{n}}, Q_{n} = \frac{m _{n} ω _{n}}{h _{n}} = \frac{k _{n} m _{n}}{h _{n}} .$

Q57. En régime sinusoïdal forcé ( $x ˙_{n} \to - i ω$ , $x ¨_{n} \to - ω^{2}$ ) :

$(ω_{n}^{2} - ω^{2} - i \frac{ω ω _{n}}{Q _{n}}) x_{n} = \frac{f _{n}}{m _{n}} ⟹ x_{n} = \frac{f _{n} / m _{n}}{ω _{n}^{2} - ω ^{2} - i ω ω _{n} / Q _{n}} .$

$∣ x_{n} ∣ = \frac{f _{n} / m _{n}}{( ω _{n}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( ω ω _{n} / Q _{n} ) ^{2}}, tan ϕ_{n} = \frac{ω ω _{n} / Q _{n}}{ω _{n}^{2} - ω ^{2}}, ϕ_{n} \in [0, π] .$

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