Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie III.2 (Q60 à Q62) : Cellules ciliées externes : oscillateurs couplés et amortissement négatif

Sujet officiel du concours ENS, session 2026, épreuve Physique U PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les cellules ciliées externes relient la membrane basilaire à la membrane tectorielle, dont la déformation au niveau de l'élément $n$ est décrite par $y_{n}$ , régie elle aussi par un oscillateur harmonique de paramètres $m_{n}^{'}$ , $k_{n}^{'}$ , $h_{n}^{'}$ . La membrane tectorielle subit une force proportionnelle à l'accélération de la membrane basilaire, $f_{n}^{'} = - C_{n} x ¨_{n}$ , avec $C_{n} > 0$ (les points désignent des dérivées temporelles). On garde les notations de III.1 ( $ω_{n}$ , $Q_{n}$ , $m_{n}$ , $h_{n}$ ).

Q60. En régime harmonique à la pulsation $ω$ , écrire la fonction de transfert $H (ω) = y_{n} / x_{n}$ .
Q61. En pratique $k_{n}^{'} / m_{n}^{'} = k_{n} / m_{n}$ et $h_{n}^{'} / m_{n}^{'} ≫ h_{n} / m_{n}$ . Comparer la pulsation de résonance $ω_{n}^{'}$ et le facteur de qualité $Q_{n}^{'}$ du second résonateur à ceux du premier. On se place près de la résonance, $ω \approx ω_{n}$ : pourquoi ? Justifier que $ω_{n} - ω ≪ ω / (2 Q_{n}^{'})$ , puis, par une approximation de $H (ω)$ , que $y_{n} ≃ - \frac{C _{n}}{h _{n}^{'}} x ˙_{n}$ (régime adopté ensuite).

Les cellules ciliées externes exercent sur la membrane basilaire la force non linéaire $f_{cc, n} (y_{n}) = - α y_{n} + β y_{n}^{3}$ , avec $α$ , $β$ constantes positives indépendantes de $n$ .

Q62. Écrire l'équation de la dynamique de $x_{n}$ avec cet effet, en utilisant $α^{'} = \frac{C _{n} α}{h _{n}^{'} m _{n}}$ et $β^{'} = \frac{β}{m _{n}} (\frac{C _{n}}{h _{n}^{'}})^{3}$ . Quelle approximation faire pour des sons de très faible amplitude ? Montrer qu'alors les cellules produisent un amortissement négatif (un gain) de coefficient $h_{n}^{''}$ , à exprimer avec $C_{n}$ , $α$ , $h_{n}^{'}$ .

Corrigé

Q60. Système : l'élément de membrane tectorielle de masse $m_{n}^{'}$ . Principe fondamental de la dynamique (rappel $- k_{n}^{'} y_{n}$ , frottement $- h_{n}^{'} y ˙_{n}$ , force $f_{n}^{'}$ ) :

$m_{n}^{'} y ¨_{n} + h_{n}^{'} y ˙_{n} + k_{n}^{'} y_{n} = - C_{n} x ¨_{n} .$

En notation complexe ( $e^{- i ω t}$ ) : $(k_{n}^{'} - m_{n}^{'} ω^{2} - i ω h_{n}^{'}) y_{n} = C_{n} ω^{2} x_{n}$ , d'où

$H (ω) = \frac{y _{n}}{x _{n}} = \frac{C _{n} ω ^{2}}{k _{n}^{'} - m _{n}^{'} ω ^{2} - i ω h _{n}^{'}} = \frac{( C _{n} / m _{n}^{'} ) ω ^{2}}{ω _{n}^{'2} - ω ^{2} - i ω ω _{n}^{'} / Q _{n}^{'}},$

avec $ω_{n}^{'} = k_{n}^{'} / m_{n}^{'}$ et $Q_{n}^{'} = m_{n}^{'} ω_{n}^{'} / h_{n}^{'}$ . C'est un filtre passe-haut du second ordre.

Q61. Comparaison des résonateurs. $ω_{n}^{'} = k_{n}^{'} / m_{n}^{'} = k_{n} / m_{n} = ω_{n}$ : même pulsation propre. Et

$Q_{n}^{'} = \frac{ω _{n}^{'}}{h _{n}^{'} / m _{n}^{'}} ≪ \frac{ω _{n}}{h _{n} / m _{n}} = Q_{n} :$

la membrane tectorielle est un résonateur beaucoup plus amorti, de bande passante $ω_{n} / Q_{n}^{'}$ bien plus large que celle, $ω_{n} / Q_{n}$ , de la membrane basilaire.

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