Corrigé ENS 2026 Physique U PSI — Partie III.3 (Q63 à Q70) : Émissions oto-acoustiques : instabilité, cycle limite et produits de distorsion

Q63. Sans forçage ($f_n=0$) et sans terme cubique, l'équation de Q62 devient

$${\ddot{x}}_n+\left(\frac{{\omega }_n}{Q_n}-{\alpha }^{\prime }\right){\dot{x}}_n+{\omega }_n^2{x}_n=0.$$

Son équation caractéristique $r^2+\left(\frac{{\omega }_n}{Q_n}-{\alpha }^{\prime }\right)r+{\omega }_n^2=0$ a des racines de somme ${\alpha }^{\prime }-{\omega }_n/Q_n$ et de produit ${\omega }_n^2>0$. Un système linéaire du second ordre est stable si et seulement si les coefficients de son équation sont tous de même signe : si ${\alpha }^{\prime }>{\omega }_n/Q_n$, les racines ont une partie réelle positive, et toute perturbation, même infime (bruit thermique), croît exponentiellement en oscillant à $\simeq {\omega }_n$ : la membrane est instable sans stimulus. Avec ${\alpha }^{\prime }=C_n\alpha /(h_n^{\prime }{m}_n)$ et ${\omega }_n/Q_n=h_n/m_n$, le seuil est

$${\alpha }^{\prime }>\frac{{\omega }_n}{Q_n}⟺\boxed{\alpha >{\alpha }_c=\frac{h_n{h}_n^{\prime }}{C_n}}⟺h_n^{\prime \prime }>h_n,$$

c'est-à-dire quand le gain des cellules ciliées externes dépasse l'amortissement passif. Terme non linéaire : la stabilité de l'équilibre $x_n=0$ se décide sur des perturbations infinitésimales ; pour elles, ${\beta }^{\prime }{\dot{x}}_n^3$ est d'ordre trois, négligeable devant le terme d'ordre un : le seuil est donné par l'équation linéarisée.

Q64. Qualitativement : l'équation de Q62 s'écrit ${\ddot{x}}_n+\left(\frac{{\omega }_n}{Q_n}-{\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime }{\dot{x}}_n^2\right){\dot{x}}_n+{\omega }_n^2{x}_n=0$. Le coefficient d'amortissement effectif, négatif à faible amplitude (au-delà du seuil), augmente avec l'amplitude grâce au terme ${\beta }^{\prime }{\dot{x}}_n^2⩾0$. L'amplitude croît tant que l'amortissement moyen sur une période est négatif, décroît s'il est positif : elle se stabilise quand, en moyenne, le gain compense exactement les pertes. C'est le mécanisme d'un oscillateur auto-entretenu de type Van der Pol (ou oscillateur à pont de Wien stabilisé par la saturation).

Calcul : ${\dot{x}}_n=\omega x_0\cos \omega t$ et ${\cos }^{3}u=\frac{3\cos u+\cos 3u}{4}$ (en notation exponentielle : ${\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u}+\text{c.c.}}{2}\right)}^3=\frac{{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}u}+3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u}+\text{c.c.}}{8}$), donc

$${\dot{x}}_n^3=(\omega x_0{)}^3\left(\frac{3}{4}\cos \omega t+\frac{1}{4}\cos 3\omega t\right),$$

dont la composante de pulsation $\omega$ est $\frac{3}{4}(\omega x_0{)}^3\cos \omega t$.

Q65. On reporte $x_n=x_0\sin \omega t$, ${\dot{x}}_n=\omega x_0\cos \omega t$, ${\ddot{x}}_n=-{\omega }^2{x}_0\sin \omega t$ et ${\dot{x}}_n^3\simeq \frac{3}{4}(\omega x_0{)}^3\cos \omega t$ dans l'équation libre de Q62 :

$$\underset{A(x_0)}{\underbrace{\left({\omega }_n^2-{\omega }^2\right)x_0}}\sin \omega t+\underset{B(x_0)}{\underbrace{\omega x_0\left[\frac{{\omega }_n}{Q_n}-{\alpha }^{\prime }+\frac{3}{4}{\beta }^{\prime }{\omega }^2{x}_0^2\right]}}\cos \omega t=0.$$

Cette relation vaut à tout instant : en $t=0$ elle donne $B=0$, en $t=\pi /(2\omega )$ elle donne $A=0$ (les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont linéairement indépendantes). Pour une oscillation non nulle ($x_0\ne 0$) :

$$A=0\Rightarrow \boxed{\omega ={\omega }_n},B=0\Rightarrow \boxed{x_0=\frac{2}{{\omega }_n}\sqrt{\frac{{\alpha }^{\prime }-{\omega }_n/Q_n}{3{\beta }^{\prime }}}}.$$

Commentaires : (i) la solution n'existe que si ${\alpha }^{\prime }>{\omega }_n/Q_n$, c'est-à-dire au-delà du seuil de Q63 ; en deçà, seul $x_0=0$ convient (oscillation amortie). (ii) L'amplitude croît comme la racine carrée de l'écart au seuil (bifurcation de Hopf) et elle est fixée par les seuls paramètres du système, pas par les conditions initiales : c'est un cycle limite. (iii) L'oscillation se fait à la pulsation propre locale ${\omega }_n$ : l'élément instable émet un son pur de fréquence bien définie, transmis en retour par les osselets vers le conduit auditif où un microphone peut le capter — c'est une EOAS, et une origine possible d'acouphènes.

Q66. La force est réelle ; en notation symétrique,

$$f_n(t)=\frac{1}{2}\left[{\underline{f}}_{{\Omega }_1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\Omega }_{1}t}+{\underline{f}}_{{\Omega }_2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\Omega }_{2}t}+{\underline{f}}_{-{\Omega }_1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\Omega }_{1}t}+{\underline{f}}_{-{\Omega }_2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\Omega }_{2}t}\right],{\underline{f}}_{-\Omega }={\underline{f}}_{\Omega }^{\ast }.$$

Pour $\beta =0$ l'équation est linéaire, et pour $\alpha <{\alpha }_c$ elle est stable : la réponse libre s'amortit, il ne reste que le régime forcé. Par le principe de superposition, la réponse à la somme des quatre termes est la somme des réponses à chacun ; et un système linéaire invariant répond à un forçage en ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ par une réponse en ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$ de même pulsation (les exponentielles sont fonctions propres de l'opérateur). Aucune autre pulsation ne peut apparaître : on obtient (12). Pour un terme $\frac{{\underline{f}}_{\omega }}{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}$, avec $\dot{x}\to -\mathrm{i}\omega$ :