Corrigé Mines-Ponts 2025 Chimie PC — Partie II (Pervaporation et élimination d'eau) (Q24 à Q27) : Zéolithe : masse volumique, volume poreux et tamisage moléculaire eau-éthanol

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Seconde partie, indépendante de la première. La pervaporation sépare un mélange liquide par transfert sélectif de matière à travers une membrane (polymère, ou zéolithe) : le flux qui traverse la membrane est vaporisé dans un compartiment sous vide puis condensé sur une paroi froide (le perméat ou pervaporat) ; le liquide resté en amont, appauvri en espèce la plus perméable, est le rétentat. Elle est intéressante pour extraire un composé minoritaire, ou pour séparer des composés de volatilités voisines, en un seul étage.

{Figure 1 — Schéma de principe de la pervaporation}

Les zéolithes sont des aluminosilicates poreux (tamis moléculaires) : les plus petites molécules progressent plus vite dans les pores. Le volume poreux représente en moyenne $45%$ du volume de la zéolithe. Zéolithe étudiée : maille de formule $Si X_{96} O X_{192}$ , quadratique ( $a = b \neq = c$ , angles droits).

$a$ (pm)	$b$ (pm)	$c$ (pm)	$α$	$β$	$γ$
$2000$	$2000$	$1300$	$9 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$

Zéolithe	diamètre des plus grands pores (pm)
ZMS-5	$560$
Chabazite	$380$
Zéolithe Y	$740$
Zéolithe BETA	$770$

{ Tableau 1 (paramètres de maille) et Tableau 2 (pores).} Données : $N_{A} \approx 6 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$ ; $M (Si) = 28$ , $M (O) = 16 g \cdot mo l^{- 1}$ ; rayons covalents $r (O) = 66 pm$ , $r (H) = 31 pm$ .

Q24. Masse volumique de la zéolithe (en $g \cdot c m^{- 3}$ ).
Q25. Volume poreux $V_{p}$ (en $c m^{3} \cdot g^{- 1}$ ).
Q26. Taille approximative d'une molécule d'eau, supposée linéaire.
Q27. Zéolithe(s) efficace(s) pour séparer un mélange eau--éthanol, la molécule d'éthanol mesurant $0, 47 nm$ .

Corrigé

Q24. La maille, parallélépipède rectangle ( $α = β = γ = 9 0^{\circ}$ ), a pour volume $V_{maille} = a b c$ et contient un motif $Si X_{96} O X_{192}$ , de masse molaire

$M_{maille} = 96 M (Si) + 192 M (O) = 96 \times 28 + 192 \times 16 = 2688 + 3072 = 5760 g \cdot mo l^{- 1} .$

La masse volumique est la masse de la maille divisée par son volume :

$ρ = \frac{M _{maille}}{N _{A} a b c} .$

Application numérique, en centimètres ( $1 pm = 1 0^{- 10} cm$ ) : $a b c = 2000 \times 2000 \times 1300 p m^{3} = 5, 2 \times 1 0^{9} p m^{3} = 5, 2 \times 1 0^{- 21} c m^{3}$ , et $M_{maille} / N_{A} = 5760/ (6 \times 1 0^{23}) = 9, 6 \times 1 0^{- 21} g$ :

$ρ = \frac{9 , 6 \times 1 0 ^{- 21}}{5 , 2 \times 1 0 ^{- 21}} \approx 1, 8 g \cdot c m^{- 3} .$

Ordre de grandeur cohérent : un peu moins que la silice dense (quartz, $2, 65 g \cdot c m^{- 3}$ ), puisque la zéolithe est poreuse.

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