Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I PC — Partie 1 (Q1 à Q5) : Polynômes réciproques et antiréciproques

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths I PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations du problème : $M_{n}$ est l'algèbre des matrices carrées complexes de taille $n$ , $GL_{n}$ le groupe de ses matrices inversibles, et $χ_{A} = det (X I_{n} - A)$ .

Pour $p \in N^{*}$ , un polynôme $P \in C [X]$ de degré $p$ est réciproque si $P (X) = X^{p} P (1/ X)$ , et antiréciproque si $P (X) = - X^{p} P (1/ X)$ .

Q1. Avec $P = \sum_{k = 0}^{p} a_{k} X^{k}$ , $a_{p} \neq = 0$ , montrer : $P$ réciproque si et seulement si $a_{k} = a_{p - k}$ pour tout $k \in [[0, p]]$ .
Q2. Avec $P = a_{p} \prod_{i = 1}^{d} (X - λ_{i})^{m_{i}}$ (racines distinctes $λ_{i}$ , multiplicités $m_{i}$ ), factoriser $X^{p} P (1/ X)$ ; si $P$ est réciproque, montrer que chaque $λ_{i}$ est non nul et que $1/ λ_{i}$ est racine de $P$ de multiplicité $m_{i}$ .
Q3. Si $Q$ est antiréciproque, montrer que $Q (1) = 0$ et que $Q = (X - 1) P$ avec $P$ constant ou réciproque.

Soit $R$ non constant dont toute racine $a$ est non nulle, $1/ a$ étant racine de même multiplicité que $a$ .

Q4. Montrer que le produit des racines de $R$ (avec multiplicités) vaut $1$ ou $- 1$ .
Q5. En déduire que $R$ est réciproque ou antiréciproque.

Corrigé

Q1. Comme $de g P = p$ , la fraction $X^{p} P (1/ X)$ est un polynôme :

$X^{p} P (\frac{1}{X}) = k = 0 \sum p a_{k} X^{p - k} = j = 0 \sum p a_{p - j} X^{j} (j = p - k) .$

Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients. Donc $P = X^{p} P (1/ X)$ si et seulement si, pour tout $j \in [[0, p]]$ , le coefficient de $X^{j}$ est le même des deux côtés, c'est-à-dire $a_{j} = a_{p - j}$ .

Q2. Comme $\sum_{i = 1}^{d} m_{i} = p$ , on peut répartir $X^{p} = \prod_{i} X^{m_{i}}$ :

$X^{p} P (\frac{1}{X}) = a_{p} i = 1 \prod d X^{m_{i}} (\frac{1}{X} - λ_{i})^{m_{i}} = a_{p} i = 1 \prod d (1 - λ_{i} X)^{m_{i}} .$

Supposons $P$ réciproque. Les racines sont non nulles : d'après Q1 (avec $k = 0$ ), $a_{0} = a_{p} \neq = 0$ , donc $P (0) = a_{0} \neq = 0$ et $0$ n'est pas racine de $P$ . Les inverses : chaque $λ_{i}$ étant non nul, $1 - λ_{i} X = - λ_{i} (X - \frac{1}{λ _{i}})$ , d'où la forme factorisée

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