Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I PC — Partie 2 (Q6 à Q9) : Matrices diagonalisables semblables à leur inverse

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths I PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Deux matrices $A, B \in M_{n}$ sont semblables s'il existe $P \in GL_{n}$ telle que $A = P^{- 1} B P$ ; $χ_{A} = det (X I_{n} - A)$ . Polynômes réciproques et antiréciproques : voir la partie 1. Soit $A \in GL_{n}$ .

Q6. Pour $x$ réel non nul, exprimer $det (x I_{n} - A)$ à l'aide de $x$ , $det A$ et $det (\frac{1}{x} I_{n} - A^{- 1})$ .
Q7. Si $A$ est semblable à $A^{- 1}$ , déterminer les valeurs possibles de $det A$ et en déduire que $χ_{A}$ est réciproque ou antiréciproque.
Q8. Si $B \in M_{n}$ est diagonalisable et si $χ_{B}$ est réciproque ou antiréciproque, montrer que $B$ est inversible et semblable à son inverse.
Q9. Montrer que la matrice ci-dessous, dont le polynôme caractéristique $(X - 2)^{2} (X - \frac{1}{2})^{2}$ est réciproque, n'est pas semblable à son inverse (on comparera les espaces propres de $B$ et $B^{- 1}$ pour la valeur propre $2$ ) :

$B = 20000200 00 \frac{1}{2} 0 001 \frac{1}{2} .$

Corrigé

Q6. On factorise par $A$ : pour $x \neq = 0$ ,

$x A (A^{- 1} - \frac{1}{x} I_{n}) = x I_{n} - A, donc x I_{n} - A = (- x) A (\frac{1}{x} I_{n} - A^{- 1}) .$

Le déterminant est multiplicatif et, pour une matrice de taille $n$ , $det (μ M) = μ^{n} det M$ ; d'où

$det (x I_{n} - A) = (- 1)^{n} x^{n} det A det (\frac{1}{x} I_{n} - A^{- 1}) .$

Ce que le correcteur attend : le facteur $(- x)^{n} = (- 1)^{n} x^{n}$ , et non $- x^{n}$ .

Q7. Déterminant. Si $A^{- 1} = P^{- 1} A P$ , alors $det (A^{- 1}) = det (P)^{- 1} det (A) det (P) = det A$ , et $det (A^{- 1}) = 1/ det A$ . Donc $(det A)^{2} = 1$ : $det A \in {1, - 1}$ .

Polynôme caractéristique. Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique (invariance par similitude) : $χ_{A^{- 1}} = χ_{A}$ . Pour $x \in R^{*}$ , Q6 s'écrit alors

$χ_{A} (x) = ε x^{n} χ_{A^{- 1}} (\frac{1}{x}) = ε x^{n} χ_{A} (\frac{1}{x}), ε = (- 1)^{n} det A \in {1, - 1} .$

Comme $de g χ_{A} = n$ , $X^{n} χ_{A} (1/ X)$ est un polynôme ; les polynômes $χ_{A}$ et $ε X^{n} χ_{A} (1/ X)$ coïncident sur l'ensemble infini $R^{*}$ , ils sont donc égaux. Si $ε = 1$ , $χ_{A}$ (de degré $n ⩾ 1$ ) est réciproque ; si $ε = - 1$ , il est antiréciproque.

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