Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I PC — Partie 3 (Q10 à Q13) : Produits de deux matrices de symétrie

Une matrice $S\in {\mathbf{M}}_n$ est une matrice de symétrie si $S^2=I_n$ (un endomorphisme $f$ est une symétrie si $f\circ f={\mathrm{Id}}_E$).

Q10. Si $S_1,S_2$ sont des matrices de symétrie, montrer que $A=S_1{S}_2$ est inversible et semblable à son inverse.
Q11. Si $A$ est produit de deux matrices de symétrie, en est-il de même de toute matrice semblable à $A$ ?

Soient $B,C\in {\mathbf{GL}}_n$, et $A\in {\mathbf{M}}_{2n}$, $S_1\in {\mathbf{M}}_{2n}$ les matrices par blocs ci-dessous, avec $P,Q\in {\mathbf{GL}}_n$ :

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& 0_n\\ 0_n& C\end{array}\right),S_1=\left(\begin{array}{cc}{0}_n& P\\ Q& 0_n\end{array}\right).$$

Q12. Trouver les conditions reliant $B,C,P,Q$ pour que $S_1$ et $S_2=S_{1}A$ soient des matrices de symétrie.
Q13. En déduire que si $C$ est semblable à $B^{-1}$, $A$ est un produit de deux matrices de symétrie.