Corrigé Mines-Ponts 2025 Maths I PC — Partie 5 (Q20 à Q21) : Théorème de Djoković : semblable à son inverse, produit de deux symétries

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Maths I PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $A \in GL_{n}$ semblable à son inverse. On admet que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs $A^{'} = diag (J_{n_{1}} (λ_{1}), \dots, J_{n_{r}} (λ_{r}))$ , où les $λ_{i}$ sont les valeurs propres de $A$ (non nécessairement distinctes) et $n_{1}, \dots, n_{r} \in N^{*}$ , et que $A^{'}$ est unique à l'ordre près des blocs. Notations $J_{m} (λ)$ , $N$ : partie 4.

Q20. Montrer que $A^{- 1}$ est semblable à $diag (J_{n_{1}} (\frac{1}{λ _{1}}), \dots, J_{n_{r}} (\frac{1}{λ _{r}}))$ .
Q21. En utilisant les parties précédentes, montrer que $A$ est un produit de deux matrices de symétrie.

Corrigé

Q20. Les $λ_{i}$ sont non nuls. $A^{'}$ est triangulaire supérieure de diagonale formée des $λ_{i}$ (chacun répété $n_{i}$ fois) et $det A^{'} = det A \neq = 0$ (déterminant invariant par similitude) ; donc $\prod_{i} λ_{i}^{n_{i}} \neq = 0$ et chaque $λ_{i}$ est non nul : $J_{n_{i}} (\frac{1}{λ _{i}})$ a un sens.

Inverse de $A^{'}$ . Soit $Q \in GL_{n}$ telle que $A = Q A^{'} Q^{- 1}$ ; alors $A^{- 1} = Q A^{' - 1} Q^{- 1}$ . Le produit de deux matrices diagonales par blocs (mêmes tailles de blocs) se calcule bloc par bloc, donc

$A^{'} \cdot diag (J_{n_{1}} (λ_{1})^{- 1}, \dots, J_{n_{r}} (λ_{r})^{- 1}) = diag (I_{n_{1}}, \dots, I_{n_{r}}) = I_{n},$

et $A^{' - 1} = diag (J_{n_{i}} (λ_{i})^{- 1})_{1 ⩽ i ⩽ r}$ (chaque bloc est inversible par Q15).

Similitude bloc par bloc. D'après Q16, pour chaque $i$ , il existe $R_{i} \in GL_{n_{i}}$ telle que $J_{n_{i}} (λ_{i})^{- 1} = R_{i} J_{n_{i}} (\frac{1}{λ _{i}}) R_{i}^{- 1}$ . La matrice $R = diag (R_{1}, \dots, R_{r})$ est inversible ( $det R = \prod_{i} det R_{i} \neq = 0$ ), d'inverse $diag (R_{1}^{- 1}, \dots, R_{r}^{- 1})$ , et par produit bloc par bloc

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