Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I MP-MPI — Partie I (Q1 à Q5) : Impulsion et énergie relativistes, limite classique, énergie du photon

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le sujet admet que l'impulsion $p$ d'une particule libre de masse $m$ et d'énergie $E$ vérifie la relation du « triangle relativiste » $E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ (1), avec $p = p$ et $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ , et la relation de de Broglie $λ = h / p$ (2), avec $h = 6, 6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ . Applications numériques à deux chiffres significatifs, sans calculatrice.

Dans cette partie, les énergies sont en $MeV$ ( $1 eV = 1, 6 \times 1 0^{- 19} J$ ), les masses en $MeV / c^{2}$ , les impulsions en $MeV / c$ : $m_{e} c^{2} = 0, 51 MeV$ (électron), $m_{p} c^{2} = 940 MeV$ (proton). L'énergie de repos $E_{0}$ est l'énergie à impulsion nulle ; l'énergie cinétique est $E_{c} = E - E_{0}$ . On admet en outre, pour une vitesse $v$ quelconque ( $v = v$ ),

$p = \frac{m v}{1 - v ^{2} / c ^{2}} (3) .$

Q1. Quelle est la nature du « triangle relativiste » ? Le représenter. Unités SI usuelles de $p$ et de $p c$ ?
Q2. Exprimer et calculer l'énergie de repos $E_{0}$ du proton.
Q3. Limite classique $E_{c} ≪ E_{0}$ : exprimer $E_{c}$ en fonction de $p$ et $m$ au premier ordre non nul ; relation entre $p$ et $v$ ? Vitesse maximale d'un proton, puis d'un électron, pour que $E_{c} / E_{0} < 1%$ .
Q4. En déduire l'énergie totale $E = f (E_{0}, v, c)$ .
Q5. Conséquence, pour sa masse, de ce que le photon se déplace à $c$ ? Exprimer l'énergie d'un photon en fonction de $λ$ puis de la fréquence $ν$ ; calculer en $eV$ pour le bleu ( $λ \sim 400 nm$ ) et le rouge ( $λ \sim 600 nm$ ), avec $h c ≃ 1, 2 eV \cdot μ m$ .

Corrigé

Q1. La relation (1) s'écrit $E^{2} = (p c)^{2} + (m c^{2})^{2}$ : c'est le théorème de Pythagore. Le « triangle relativiste » est donc un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure $E$ et les deux côtés de l'angle droit $p c$ et $m c^{2}$ (trois grandeurs homogènes à une énergie).

{ Triangle relativiste : hypoténuse $E$ , côtés $p c$ et $m c^{2}$ ( $tan θ = m c / p$ ).}

L'impulsion est, en mécanique classique, une quantité de mouvement (masse $\times$ vitesse) : elle s'exprime en $kg \cdot m \cdot s^{- 1}$ (ou $N \cdot s$ , ce qui est la même unité). Le produit $p c$ s'exprime en $kg \cdot m^{2} \cdot s^{- 2}$ , c'est-à-dire en joule : c'est une énergie, ce que confirme l'homogénéité de (1). C'est pourquoi le sujet donne les impulsions en $MeV / c$ .

Ce que le correcteur attend : une unité (et non une dimension), soit de base du SI, soit propre à la grandeur comme le joule ; une combinaison du type $J \cdot H z^{- 1} \cdot m^{- 1}$ , tirée de $p = h / λ$ , est à proscrire.

Q2. À impulsion nulle, (1) donne $E^{2} = m^{2} c^{4}$ , et l'énergie est positive :

$E_{0} = m_{p} c^{2} = 940 MeV = 940 \times 1 0^{6} \times 1, 6 \times 1 0^{- 19} J ≃ 1, 5 \times 1 0^{- 10} J .$

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