Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I MP — Partie II (Q6 à Q8) : Recul de l'atome émetteur et séries spectrales de l'hydrogène

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un atome de masse $m$ , initialement au repos, émet un photon d'énergie $E$ et d'impulsion $p = E / c$ ; son énergie (interne) passe de $E_{i}$ à $E_{f} = E_{i} - Δ E < E_{i}$ . Dans une description classique, l'atome recule avec l'impulsion $m v$ et l'énergie cinétique $\frac{1}{2} m v^{2}$ , l'impulsion totale restant nulle (figure 1) : $v$ est opposée à l'impulsion $p$ du photon.

{Figure 1 — Émission d'un photon par un atome au repos}

Q6. On admet que l'énergie totale après émission est égale à celle de l'atome au repos avant émission. En déduire $E = m c^{2} (1 + 2 η - 1)$ et exprimer $η$ en fonction de $Δ E$ , $m$ et $c$ .
Q7. Pour l'hydrogène, $Δ E$ vaut quelques électronvolts : montrer que l'énergie de recul est négligeable et conclure sur la relation entre $Δ E = E_{i} - E_{f}$ et $E$ .

Les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène sont $E_{n} = - H / (2 n^{2})$ , $n \in N^{*}$ , avec $H = 27, 2 eV$ . Un atome passe de l'état $n_{i}$ à l'état $n_{f} < n_{i}$ en émettant une onde de longueur d'onde $λ$ .

Q8. Pour $n_{f} = 1$ , montrer que $λ ⩽ λ_{max}$ , estimer $λ_{max}$ et donner le domaine spectral. Pour $n_{f} > 2$ , montrer que $λ ⩾ λ_{min}$ , estimer $λ_{min}$ et donner le domaine. À quelle(s) valeur(s) de $n_{f}$ correspondent les raies visibles (raies de Balmer) ?

Corrigé

Q6. Système : l'atome et le photon, isolés. Les énergies $E_{i}$ et $E_{f}$ sont les énergies internes de l'atome (niveaux électroniques) ; sa masse $m$ est supposée inchangée par l'émission, et son mouvement de recul est décrit classiquement, comme le demande l'énoncé.

Conservation de l'impulsion. Avant émission, l'impulsion totale est nulle ; après, $m v + p = 0$ , donc en norme

$m v = p = \frac{E}{c} .$

Conservation de l'énergie. L'énergie interne initiale se répartit entre l'énergie interne finale, l'énergie cinétique de recul et l'énergie du photon :

$E_{i} = E_{f} + \frac{1}{2} m v^{2} + E ⟹ Δ E = E + \frac{( m v ) ^{2}}{2 m} = E + \frac{E ^{2}}{2 m c ^{2}} .$

$E$ est donc racine positive du trinôme $E^{2} + 2 m c^{2} E - 2 m c^{2} Δ E = 0$ :

$E = - m c^{2} + m^{2} c^{4} + 2 m c^{2} Δ E = m c^{2} (1 + 2 η - 1), η = \frac{Δ E}{m c ^{2}} .$

(L'autre racine, $- m c^{2} (1 + 1 + 2 η)$ , est négative, donc exclue.) $η$ est bien sans dimension : le rapport de l'énergie de la transition à l'énergie de masse de l'atome.

Ce que le correcteur attend : deux bilans écrits explicitement, impulsion et énergie ; le jury a sanctionné les manipulations des formules de la partie I destinées à « retrouver » le résultat.

Q7. Pour l'atome d'hydrogène, $m c^{2} ≃ m_{p} c^{2} + m_{e} c^{2} ≃ 940 MeV$ ; avec $Δ E \sim 10 eV$ ,

$η = \frac{Δ E}{m c ^{2}} \sim \frac{10}{9 , 4 \times 1 0 ^{8}} ≃ 1 \times 1 0^{- 8} ≪ 1.$

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