Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I MP — Partie III.A (Q9 à Q13) : Interféromètre de Michelson : séparatrice, anneaux, mesure de la raie Hα

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Michelson a mesuré par spectroscopie interférentielle les raies H $_{α}$ (rouge) et H $_{β}$ (bleue) de l'hydrogène. Son montage est schématisé figure 2 : un monochromateur (prisme dispersif et fente étroite) sélectionne une raie quasi monochromatique de longueur d'onde $λ_{0}$ , dans le visible. L'observation se fait avec un oculaire afocal réglé à l'infini, qui donne d'un objet très éloigné une image très éloignée et agrandie.

{Figure 2 — Dispositif de mesure en spectroscopie interférentielle}

Q9. Les lames de verre $L_{1}$ et $L_{2}$ , parallèles, de même épaisseur $e$ et de même indice $n$ , sont inclinées de $π /4$ sur l'axe $(O, e_{x})$ , normal au miroir fixe. $L_{1}$ porte une couche semi-réfléchissante sur une seule face : laquelle ? Justifier par un schéma.
Q10. Les vis $V_{1}$ , $V_{2}$ rendent les deux miroirs rigoureusement perpendiculaires ; l'axe $(O, e_{z})$ de l'oculaire est alors normal au miroir mobile. Forme des franges observées ? Les voit-on encore si l'oculaire est déréglé ?
Q11. La vis micrométrique translate le miroir mobile (parallèle au plan $(O, e_{x}, e_{y})$ ) le long de $(O, e_{z})$ . Relier le nombre $Δ N$ de franges sombres défilant au centre au déplacement $Δ z$ .
Q12. Exprimer, avec un schéma, la différence de marche à l'infini dans une direction donnée en fonction de l'écart entre les miroirs. Après un déplacement $Δ z_{max}$ depuis le contact optique, déterminer l'angle $Δ θ$ entre le centre et la première frange de même nature.
Q13. Pour une raie de l'hydrogène, on compte $N = 3156$ franges pour $Δ z = 1035 \pm 2 μ m$ . Raie H $_{α}$ ou H $_{β}$ ? Précision relative sur $λ_{0}$ ? Valeur de $Δ θ$ ? Commenter.

Corrigé

Q9. Suivons la lumière sur la figure 2. Elle arrive du monochromateur selon $- e_{x}$ et rencontre $L_{1}$ en $O$ . La partie réfléchie est renvoyée selon $+ e_{z}$ vers le miroir mobile (voie 2, qui traverse $L_{2}$ ), la partie transmise continue vers le miroir fixe (voie 1). Au retour, la voie 1 est réfléchie par $L_{1}$ vers l'oculaire ( $- e_{z}$ ), la voie 2 traverse $L_{1}$ vers l'oculaire.

Pour que les deux voies soient optiquement équivalentes (même épaisseur de verre traversée, sous la même incidence de $4 5^{\circ}$ , donc même chemin optique et même dispersion), chacune doit traverser le verre le même nombre de fois. Comptons les traversées d'une épaisseur $e$ de verre selon la face traitée de $L_{1}$ .

Couche sur la face de $L_{1}$ tournée vers $L_{2}$ et vers la source (face « en haut à droite » sur la figure). Voie 2 : réflexion sur cette face sans entrer dans $L_{1}$ , deux traversées de $L_{2}$ (aller et retour), puis une traversée de $L_{1}$ vers l'oculaire, soit $3$ . Voie 1 : traversée de $L_{1}$ à l'aller, puis au retour traversée de $L_{1}$ jusqu'à la couche, réflexion interne, et nouvelle traversée vers l'oculaire, soit $3$ . Égalité.
Couche sur l'autre face (tournée vers le miroir fixe et l'oculaire). Voie 2 : $2$ traversées de $L_{1}$ (réflexion interne) $+ 2$ de $L_{2}$ $+ 1$ de $L_{1}$ , soit $5$ ; voie 1 : $1$ traversée à l'aller, réflexion externe au retour, soit $1$ . Déséquilibre de $4 e$ de verre.

La couche semi-réfléchissante est donc sur la face de $L_{1}$ tournée vers $L_{2}$ (et vers le monochromateur). $L_{1}$ est la séparatrice, $L_{2}$ la compensatrice.

{ Séparatrice $L_{1}$ traitée sur sa face tournée vers $L_{2}$ : chaque voie traverse trois fois une lame d'épaisseur $e$ .}

Q10. L'image $M^{'}$ du miroir fixe par la face réfléchissante de $L_{1}$ (inclinée à $4 5^{\circ}$ ) est parallèle au miroir mobile, puisque les deux miroirs sont perpendiculaires. Le Michelson est alors équivalent à une lame d'air d'épaisseur $e$ comprise entre le miroir mobile et $M^{'}$ . La différence de marche $δ = 2 e cos i$ (Q12) ne dépend que de l'inclinaison $i$ des rayons : les franges sont des franges d'égale inclinaison, des anneaux concentriques centrés sur l'axe $(O, e_{z})$ , normal aux miroirs, et localisés à l'infini. L'oculaire réglé à l'infini, associé à l'œil au repos, envoie chaque direction $i$ en un point de la rétine : on voit les anneaux nets.

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