Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I MP — Partie III.B (Q14 à Q16) : Cohérence spectrale : contraste, doublets et battements

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une source éclaire avec la même intensité $I_{0}$ les deux voies d'un interféromètre ; on observe en un point où la différence de marche entre les deux voies vaut $δ$ .

Q14. Source rigoureusement monochromatique de longueur d'onde $λ_{0}$ : exprimer $I (δ)$ en fonction de $I_{0}$ , $λ_{0}$ et $δ$ . Définir et calculer le facteur de contraste $C$ .

Une source bichromatique émet deux radiations de longueurs d'onde voisines $λ_{1}$ et $λ_{2}$ ; on pose $λ_{0} = \frac{1}{2} (λ_{1} + λ_{2})$ et $Δ λ = ∣ λ_{2} - λ_{1} ∣ ≪ λ_{0}$ .

Q15. Les deux radiations ont la même intensité (lampe à vapeur de sodium, étudiée par Michelson avec le montage de III.A). Exprimer $I$ en fonction de $I_{0}$ , $δ$ , $λ_{0}$ , $Δ λ$ . Exprimer $C$ et montrer comment il permet de mesurer $λ_{0} /Δ λ$ .
Q16. Les intensités $I_{1}$ (à $λ_{1}$ ) et $I_{2} < I_{1}$ (à $λ_{2}$ ) diffèrent (raie H $_{α}$ de l'hydrogène). Pour quelle(s) valeur(s) de $δ$ le contraste est-il minimal ? Valeur de ce minimum ? Pour H $_{α}$ , $Δ λ \sim 1, 4 \times 1 0^{- 11} m$ : peut-on mettre cet écart en évidence avec le montage de III.A ?

Corrigé

Q14. Les deux ondes qui se superposent proviennent, par division d'amplitude, du même train d'onde émis par un même point de la source : elles sont cohérentes, et leur déphasage au point d'observation vaut $φ = 2 π δ / λ_{0}$ . La formule de Fresnel pour deux ondes cohérentes d'intensités $I_{0}$ donne

$I = I_{0} + I_{0} + 2 I_{0} I_{0} cos φ, I (δ) = 2 I_{0} [1 + cos (\frac{2 π δ}{λ _{0}})] .$

Le facteur de contraste (ou visibilité) des franges est défini par

$C = \frac{I _{max} - I _{min}}{I _{max} + I _{min}} = \frac{4 I _{0} - 0}{4 I _{0} + 0}, C = 1 .$

Le contraste est maximal parce que les deux ondes ont la même intensité et sont parfaitement cohérentes : les franges sombres sont parfaitement noires, quelle que soit $δ$ .

Q15. Intensité. Les deux radiations, de fréquences différentes, sont incohérentes entre elles : leurs termes d'interférence croisés oscillent à la fréquence différence et s'annulent en moyenne sur le temps de réponse du détecteur. On additionne donc les intensités des deux systèmes de franges. Convenons que chaque voie reçoit l'intensité totale $I_{0}$ , soit $I_{0} /2$ par radiation. Avec les nombres d'onde $σ_{1} = 1/ λ_{1}$ et $σ_{2} = 1/ λ_{2}$ , Q14 appliquée à chaque radiation donne

$I = I_{0} [1 + cos (2 π σ_{1} δ)] + I_{0} [1 + cos (2 π σ_{2} δ)] = 2 I_{0} [1 + cos (π (σ_{1} - σ_{2}) δ) cos (π (σ_{1} + σ_{2}) δ)] .$

Puisque $Δ λ ≪ λ_{0}$ , au premier ordre en $Δ λ / λ_{0}$ ,

$∣ σ_{1} - σ_{2} ∣ = \frac{∣ λ _{2} - λ _{1} ∣}{λ _{1} λ _{2}} ≃ \frac{Δ λ}{λ _{0}^{2}}, \frac{σ _{1} + σ _{2}}{2} = \frac{λ _{1} + λ _{2}}{2 λ _{1} λ _{2}} ≃ \frac{1}{λ _{0}},$

d'où, le cosinus étant pair,

$I (δ) = 2 I_{0} [1 + cos (\frac{π Δ λ δ}{λ _{0}^{2}}) cos (\frac{2 π δ}{λ _{0}})] .$

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