Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I MP — Partie IV (Q20 à Q25) : Équation de Klein-Gordon : dispersion relativiste, barrière et paradoxe de Klein

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour une particule de masse $m$ , de position $r$ , soumise au potentiel $V (r)$ , on compare l'équation de Schrödinger (4) et celle de Klein et Gordon (5), avec $ℏ = h / (2 π)$ et $i^{2} = - 1$ :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} Δ Ψ + V (r) Ψ = i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} (4), ℏ^{2} c^{2} Δ Ψ + (i ℏ \frac{\partial}{\partial t} - V (r))^{2} Ψ = m^{2} c^{4} Ψ (5) .$

On étudie les solutions $Ψ (r, t) = ψ_{0} exp [- \frac{i}{ℏ} (E t - p (E) x)]$ , où $ψ_{0}$ est une constante complexe, $x$ une coordonnée cartésienne, $E > 0$ l'énergie et $p (E) > 0$ l'impulsion.

Q20. L'état est-il stationnaire ? Dans quel sens la particule se déplace-t-elle ? Exprimer les vitesses de phase $v_{φ}$ et de groupe $v_{g}$ en fonction de $E$ , $p (E)$ et de sa dérivée.
Q21. Exprimer $p (E)$ et $v_{g} (E)$ pour l'équation de Schrödinger avec $V$ constant ; le modèle est-il relativiste ?
Q22. Mêmes questions pour l'équation de Klein-Gordon.

Barrière (figure 5) : $V = 0$ pour $x < 0$ et $x > a$ ; $V = V_{0}$ sur $[0, a]$ , avec $V_{0} > E$ et même $V_{0} - E > m c^{2}$ . Pour $x < 0$ et $x > a$ , on pose

$Ψ = ψ_{0} e^{- i \frac{E t - p x}{ℏ}} + R ψ_{0} e^{- i \frac{E t + p x}{ℏ}} (x < 0), Ψ = T ψ_{0} e^{- i \frac{E t - p x}{ℏ}} (x > a) .$

{Figure 5 — Barrière de potentiel}

Q23. (Schrödinger.) Nature de l'onde dans $[0, a]$ ? Quelles relations donnent $R$ et $T$ (sans les calculer) ? Quel phénomène met-on en évidence ? Interprétation de $∣ T ∣^{2}$ ?
Q24. (Klein-Gordon.) Nature de l'onde dans $[0, a]$ , sachant qu'avec $ε = E - V_{0}$ , $q^{2} = (ε - m c^{2}) (ε + m c^{2}) / c^{2} > 0$ ?

On admet alors $∣ T ∣^{2} = 1/ ∣ cos φ - i α sin φ ∣^{2}$ , avec $α = \frac{1}{2} (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})$ et $φ = q a /ℏ$ .

Q25. Déterminer la valeur maximale de $∣ T ∣^{2}$ . Commenter.

Corrigé

Q20. Stationnarité. La fonction d'onde se factorise en

$Ψ (r, t) = f (x) ψ_{0} e^{i p x /ℏ} e^{- i E t /ℏ} :$

c'est le produit d'une fonction de l'espace seul par le facteur de phase $e^{- i E t /ℏ}$ . C'est donc un état stationnaire d'énergie $E$ : la densité de probabilité $∣ Ψ ∣^{2} = ψ_{0}^{2}$ ne dépend pas du temps.

Ce que le correcteur attend : ne pas confondre état stationnaire (densité de présence indépendante du temps) et onde stationnaire (variables d'espace et de temps découplées dans une fonction réelle, avec des nœuds fixes) : c'est ici une onde progressive qui décrit un état stationnaire.

Sens du mouvement. La phase $(p x - E t) /ℏ$ est constante quand $x = (E / p) t + cte$ : comme $E > 0$ et $p > 0$ , l'onde progresse vers les $x$ croissants. La particule décrite se déplace selon $+ e_{x}$ (son impulsion est $p e_{x}$ , et le courant de probabilité est dirigé selon $+ e_{x}$ ).

Vitesses. Par les relations de Planck-Einstein et de de Broglie, la pulsation et le vecteur d'onde valent $ω = E /ℏ$ et $k = p /ℏ$ . La vitesse de phase (vitesse des surfaces d'égale phase) et la vitesse de groupe (vitesse de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, donc de la particule) sont, par définition,

$v_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{E}{p ( E )}, v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{d E}{d p} = \frac{1}{p ^{'} ( E )} .$

Q21. Relation de dispersion. Avec $V$ constant, la forme proposée donne $Δ Ψ = \frac{\partial ^{2} Ψ}{\partial x ^{2}} = - \frac{p ^{2}}{ℏ ^{2}} Ψ$ et $i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} = E Ψ$ . L'équation (4) devient, après simplification par $Ψ \neq = 0$ ,

$\frac{p ^{2}}{2 m} + V = E ⟹ p (E) = 2 m (E - V) (E > V) .$

Vitesse de groupe. $p^{'} (E) = \frac{2 m}{2 2 m ( E - V )} = \frac{m}{p}$ , d'où

$v_{g} = \frac{p}{m} = \frac{2 ( E - V )}{m}, et v_{φ} = \frac{E}{2 m ( E - V )} .$

Vérification d'homogénéité : $(E - V) / m$ est le carré d'une vitesse.

Caractère non relativiste. La relation $E - V = p^{2} / (2 m)$ est l'énergie cinétique classique de Q3 : c'est la limite $E_{c} ≪ m c^{2}$ de la relation (1), qui ignore l'énergie de masse. De même $v_{g} = p / m$ est la relation newtonienne $p = m v$ , et $v_{g}$ croît sans limite avec $E$ : rien n'empêche, dans ce modèle, une vitesse supérieure à $c$ , ce qu'interdit la relativité. L'équation de Schrödinger est donc non relativiste : elle ne vaut que pour $E - V ≪ m c^{2}$ .

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