Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I PC — Partie I (Q1 à Q11) : La formule de Stokes : Reynolds, traînée, champ de pression et forces sur une boule

Q1. Le nombre de Reynolds d'un écoulement de vitesse typique $v$, de taille typique $L$, d'un fluide de masse volumique $\rho$ et de viscosité $\eta$ est le nombre sans dimension

$$\boxed{{\mathcal{R}}_{\mathrm{e}}=\frac{\rho vL}{\eta }=\frac{vL}{\nu }},\nu =\frac{\eta }{\rho }.$$

Il s'obtient en ordre de grandeur, en estimant chaque dérivée spatiale par $1/L$ : le terme convectif et le terme visqueux de (1) valent

$$\Vert \rho (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}\Vert \sim \frac{\rho v^2}{L},\Vert \eta \Delta \overrightarrow{v}\Vert \sim \frac{\eta v}{L^2},$$

d'où

$$\frac{\Vert \rho (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}\Vert }{\Vert \eta \Delta \overrightarrow{v}\Vert }\sim \frac{\rho vL}{\eta }={\mathcal{R}}_{\mathrm{e}}.$$

Interprétation. Le terme convectif $\rho (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}$ est d'origine inertielle : il traduit le transport de la quantité de mouvement par l'écoulement lui-même (une particule de fluide accélère parce qu'elle se déplace dans un champ de vitesse non uniforme). Le terme visqueux $\eta \Delta \overrightarrow{v}$ est un terme de diffusion de la quantité de mouvement : la viscosité transfère la quantité de mouvement des couches rapides vers les couches lentes et tend à uniformiser la vitesse. ${\mathcal{R}}_{\mathrm{e}}$ compare donc convection et diffusion de la quantité de mouvement (c'est aussi le rapport $(L^2/\nu )/(L/v)$ du temps de diffusion au temps de convection).

Q2. Grand nombre de Reynolds (par exemple ${\mathcal{R}}_{\mathrm{e}}\sim 10^4$ à $10^5$, en deçà de la crise de traînée). En amont, les lignes de courant, parallèles et régulières, s'écartent de la boule et la contournent en se resserrant près de l'équateur (le fluide accélère) ; la viscosité n'agit que dans une couche limite très mince collée à la surface. Cette couche limite décolle un peu avant l'équateur : en aval s'ouvre un sillage turbulent, large comme la boule, rempli de tourbillons, où les lignes de courant ne sont plus définies de façon stationnaire. L'écoulement est fortement dissymétrique amont-aval.

Faible nombre de Reynolds (${\mathcal{R}}_{\mathrm{e}}\ll 1$, écoulement rampant). L'écoulement est laminaire, stationnaire et symétrique par rapport au plan $z=0$ (ci-dessous, tracé exact à partir de la solution admise avant Q6) : les lignes de courant contournent la boule sans décoller ni former de sillage, et la perturbation s'étend très loin (la vitesse ne retrouve sa valeur $v_0$ qu'à des distances de plusieurs rayons, en $a/r$) : la ligne qui passe à $0,35a$ de l'axe loin en amont s'en écarte jusqu'à $1,3a$.

{ Allure des lignes de courant dans le plan $(O,{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_z)$ (référentiel de la boule, écoulement vers $+{\overrightarrow{e}}_z$).}

Au point $M$ placé ($r=1,9a$, $\theta =55^{\circ }$, du côté aval), la solution admise donne $v_r\simeq 0,16v_0$ et $v_{\theta }\simeq -0,47v_0$ : la vitesse, réduite à $0,49v_0$ près de la boule, est tangente à la ligne de courant qui se rapproche de l'axe en aval. Sur la paroi, la vitesse est nulle (non-glissement, Q6).