Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I PC — Partie II (Q12 à Q16) : Glissement d'un gaz sur une paroi : modèle de Maxwell, Poiseuille plan avec glissement

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Navier puis Maxwell remplacent la condition de non-glissement sur une paroi plane située en $z = z_{p}$ (fluide au-dessus) par la condition

$v_{t} = b \frac{\partial v _{t}}{\partial z}_{z = z_{p}} (2)$

où $v_{t}$ est la composante tangentielle de la vitesse du fluide et $b$ la longueur d'extrapolation (ou de glissement), souvent submicrométrique (figure 2).

{Figure 2 — Glissement nul ( $b = 0$ ), partiel ( $b > 0$ ), total ( $b \to \infty$ , cisaillement nul)}

On note $u = ⟨ v ⟩$ la vitesse moyenne (solution de Navier-Stokes) et $δ v$ la vitesse d'agitation thermique. Le glissement compte dès que le nombre de Knudsen $K_{n} = ℓ / R$ ( $ℓ$ : libre parcours moyen, $R$ : échelle des gradients) dépasse $1 0^{- 3}$ . Modèle de Maxwell, paroi fixe en $z_{p} = 0$ : une fraction $σ$ des chocs est diffusive (molécule réémise avec la vitesse de la paroi), la fraction $1 - σ$ est spéculaire (vitesse tangentielle conservée). Dans la couche d'épaisseur $ℓ$ , pendant $τ = ℓ / δ v$ , la moitié seulement des molécules susceptibles de heurter la paroi le font, les autres continuant à $u_{i} = u (ℓ)$ .

Q12. Exprimer la vitesse moyenne $u_{r}$ après collision en fonction de $u_{i}$ et $σ$ , puis la vitesse de glissement $u_{g}$ de la couche.
Q13. Chaque molécule parcourt $ℓ$ entre deux collisions : écrire $u_{i}$ par un développement de Taylor à l'ordre 1 en fonction de $u_{g}$ , $ℓ$ et $\partial u / \partial z ∣_{z = 0}$ , puis, avec (2) pour $v_{t} = u_{g}$ , exprimer $b$ en fonction de $ℓ$ et $σ$ .

On admet désormais (2), $b$ connu. Un fluide ( $ρ$ , $η$ ) s'écoule de façon stationnaire et incompressible selon $e_{x}$ entre deux parois planes en $z = \pm h /2$ , sous un gradient de pression constant : $G = (P_{e} - P_{s}) / L = - \partial P / \partial x$ , avec $L$ la longueur du canal (figure 3).

{Figure 3 — Écoulement de Poiseuille dans un canal de largeur $w ≫ h$ selon $(O y)$ }

Q14. Établir l'équation différentielle vérifiée par $u (z)$ .
Q15. Avec la condition de non-glissement, exprimer $u_{n g} (z)$ en fonction de $G$ , $h$ , $η$ , puis le débit $Q_{n g}$ en fonction de $G$ , $h$ , $w$ , $η$ .
Q16. Avec la condition (2), même $b$ sur les deux parois : exprimer $u_{g} (z)$ en fonction de $G$ , $h$ , $b$ , $η$ , puis $Q_{g}$ en fonction de $Q_{n g}$ et du taux de confinement $ξ = b / h$ . Commenter.

Corrigé

Q12. Parmi les molécules de la couche qui heurtent la paroi, toutes arrivent avec la vitesse tangentielle moyenne $u_{i}$ :

la fraction $σ$ subit un choc diffusif et repart avec la vitesse de la paroi fixe, de composante tangentielle nulle ;
la fraction $1 - σ$ subit un choc spéculaire : seule la composante normale s'inverse, la composante tangentielle $u_{i}$ est conservée.

La vitesse tangentielle moyenne après collision est donc

$u_{r} = σ \times 0 + (1 - σ) u_{i} = (1 - σ) u_{i} .$

Pendant la durée $τ$ , la moitié des molécules de la couche ont heurté la paroi (vitesse moyenne $u_{r}$ ) et l'autre moitié a poursuivi à $u_{i}$ . La vitesse moyenne des molécules de la couche, c'est-à-dire la vitesse de glissement du gaz au contact de la paroi, est la moyenne de ces deux populations, de même effectif :

$u_{g} = \frac{u _{i} + u _{r}}{2} soit u_{g} = (1 - \frac{σ}{2}) u_{i} = \frac{2 - σ}{2} u_{i} .$

Cas limites : $σ = 0$ (parois parfaitement spéculaires) donne $u_{g} = u_{i}$ , la paroi n'exerce aucun frein ; $σ = 1$ (chocs tous diffusifs) donne $u_{g} = u_{i} /2$ , et non zéro : même une paroi « collante » laisse glisser un gaz raréfié, parce que la moitié des molécules de la couche ne l'a pas touchée.

Ce que le correcteur attend : distinguer la vitesse moyenne des molécules qui ont heurté la paroi ( $u_{r}$ ) de celle de toute la couche ( $u_{g}$ ).

Q13. La vitesse de glissement $u_{g}$ est la vitesse du gaz au contact de la paroi, $u (0) = u_{g}$ . Les molécules arrivent sur la paroi après avoir parcouru en moyenne un libre parcours $ℓ$ depuis leur dernière collision, avec la vitesse moyenne qui règne à la cote $z = ℓ$ . Le développement de Taylor à l'ordre 1 de $u (z)$ au voisinage de la paroi donne

$u_{i} = u (ℓ) ≃ u_{g} + ℓ \frac{\partial u}{\partial z}_{z = 0} .$

Reportons dans le résultat de Q12 :

$u_{g} = \frac{2 - σ}{2} (u_{g} + ℓ \frac{\partial u}{\partial z}_{0})$

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