Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I PC — Partie III (Q17 à Q22) : Approche microscopique de la viscosité d'un gaz : modèle cinétique, pression et température

Q17. Dans le référentiel où le gaz est localement au repos, l'énergie cinétique moyenne d'agitation d'une molécule est fixée par le théorème d'équipartition de l'énergie : $\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{B}}T$ par degré de liberté quadratique de translation, soit trois termes,

$$\frac{1}{2}m\delta v^2=\frac{3}{2}{k}_{\mathrm{B}}T,m=\frac{M_{\mathrm{a}}}{{\mathcal{N}}_{\mathrm{A}}},\text{d’ouˋ}\boxed{\delta v=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}{\mathcal{N}}_{\mathrm{A}}T}{M_{\mathrm{a}}}}}.$$

$\delta v$ est la vitesse quadratique moyenne d'agitation (ici, par construction, la norme commune des fluctuations). Dans les conditions usuelles, $T\simeq 300\mathrm{K}$ :

$$\delta v=\sqrt{\frac{3\times 1,4\times 10^{-23}\times 6,0\times 10^{23}\times 300}{29\times 10^{-3}}}=\sqrt{\frac{7,6\times 10^3}{2,9\times 10^{-2}}}\simeq \sqrt{2,6\times 10^5}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1},$$

$$\boxed{\delta v\simeq 5\times 10^2\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}}.$$

(On note $k_{\mathrm{B}}{\mathcal{N}}_{\mathrm{A}}=R\simeq 8,4\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}\cdot \mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$.) C'est l'ordre de grandeur de la vitesse du son dans l'air, ce qui est cohérent : le son se propage grâce à l'agitation moléculaire.

Ce que le correcteur attend : un raisonnement (équipartition), pas une analyse dimensionnelle, et une masse molaire convertie en $\mathrm{kg}\cdot \mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$.

Q18. Décompte des molécules. La tranche A, de volume $S\ell$, contient $nS\ell$ molécules ; un sixième d'entre elles ont la fluctuation $+\delta v{\overrightarrow{e}}_z$. Pendant $\tau =\ell /\delta v$, chacune de ces molécules monte de $\delta v\tau =\ell$ : toutes, même celles qui partent de la cote $z-\ell$, franchissent la surface $S$ et passent dans B (et $\tau$ est la durée moyenne entre deux chocs : elles n'en subissent pas en route). Les fluctuations $\pm {\overrightarrow{e}}_x$, $\pm {\overrightarrow{e}}_y$ ne font pas traverser $S$, et la fluctuation $-{\overrightarrow{e}}_z$ fait sortir les molécules de A par sa face inférieure, ce qui ne relève pas de l'échange à travers $S$. De même, $N=nS\ell /6$ molécules de B descendent dans A.

Quantité de mouvement échangée. Une molécule qui quitte A emporte $m\left(u_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{e}}_x+\delta v{\overrightarrow{e}}_z\right)$ ; une molécule qui arrive de B apporte $m\left(u_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{e}}_x-\delta v{\overrightarrow{e}}_z\right)$. Pendant $\Delta t=\tau$ :

$$\mathrm{d}{\overrightarrow{P}}_{\mathrm{A}}=Nm\left[\left(u_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{e}}_x-\delta v{\overrightarrow{e}}_z\right)-\left(u_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{e}}_x+\delta v{\overrightarrow{e}}_z\right)\right],$$

$$\boxed{\mathrm{d}{\overrightarrow{P}}_{\mathrm{A}}=\frac{nmS\ell }{6}\left[\right(u(z+\ell )-u(z-\ell )){\overrightarrow{e}}_x-2\delta v{\overrightarrow{e}}_z]}.$$

Ce que le correcteur attend : le facteur $1/6$ (une direction sur six), le nombre $nS\ell$ de molécules d'une tranche, et le bilan entrées moins sorties.

Q19. Par le même raisonnement, B perd $N$ molécules de quantité de mouvement $m(u_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{e}}_x-\delta v{\overrightarrow{e}}_z)$ et en gagne $N$ de quantité de mouvement $m(u_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{e}}_x+\delta v{\overrightarrow{e}}_z)$ :

$$\boxed{\mathrm{d}{\overrightarrow{P}}_{\mathrm{B}}=\frac{nmS\ell }{6}\left[\right(u(z-\ell )-u(z+\ell )){\overrightarrow{e}}_x+2\delta v{\overrightarrow{e}}_z]=-\mathrm{d}{\overrightarrow{P}}_{\mathrm{A}}}.$$

L'échange à travers $S$ conserve la quantité de mouvement de l'ensemble $\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$. La force moyenne exercée par B sur A à travers $S$ est le débit de quantité de mouvement reçu par A, $\mathrm{d}{\overrightarrow{P}}_{\mathrm{A}}/\Delta t$ avec $\Delta t=\tau =\ell /\delta v$ :