Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I PSI — Partie I (Q1 à Q6) : Canon à eau : tir parabolique, Reynolds, diagramme de Moody, puissance de la pompe

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un canon à eau de pompiers projette de l'eau, à travers un tube métallique cylindrique de diamètre $d$ et de longueur $ℓ$ , avec une vitesse initiale $v_{0}$ (figure 1 ; la photo du sujet montre un camion de pompiers lançant un long jet oblique). Portée maximale visée : $L = 150 m$ . Eau incompressible, $ρ_{0} = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , peu visqueuse, $η = 1, 0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ ; $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ ; pression de l'air $P_{0} = 1, 0 bar$ . Applications numériques à deux chiffres significatifs, sans calculatrice ( $2 ≃ 1, 4$ ).

{ Figure 1 — Schéma du canon à eau.}

Les gouttes, une fois sorties en $O$ , ne sont soumises qu'à la pesanteur.

{ Figure 2 — Canon à eau en configuration de portée maximale.}

Q1. Sans frottement, montrer que la trajectoire est parabolique et que la portée est maximale pour un tir à $4 5^{\circ}$ ; exprimer et calculer $v_{0}$ ; en déduire $d$ pour un débit de $6000 L \cdot mi n^{- 1}$ .
Q2. Justifier que tout le jet est à la pression $P_{0}$ . Le théorème de Bernoulli s'applique-t-il le long de la trajectoire ? Vitesse minimale de l'eau entre $O$ et l'impact ?

L'entrée du tube est à la pression $P_{0} + Δ P$ ; la chute $Δ P$ provient de la viscosité et de la rugosité relative $ε / d$ ( $ε$ , hauteur moyenne des aspérités, entre $0, 1 mm$ et $1, 0 mm$ ; $ℓ = 1, 0 m$ ). Le diagramme de Moody donne le coefficient $ξ$ de Darcy-Weisbach, et $Δ P = ξ \frac{ρ _{0} v _{0}^{2}}{2 d} ℓ$ (1).

{ Figure 3 — Diagramme de Moody (tableau des matériaux omis).}

Q3. Rappeler l'expression du nombre de Reynolds $R$ ; le calculer dans le canon ; conclure.
Q4. Valeurs extrêmes de $ξ$ puis de $Δ P$ ; commenter.

La pompe prélève l'eau dans un réservoir (au repos, à la pression $P_{0}$ , même altitude) ; l'eau entre dans le canon avec la vitesse $v_{0} ≃ 38 m \cdot s^{- 1}$ et la pression $P_{e} = 6, 0 bar$ , et en sort à la pression $P_{0}$ .

Q5. Sans frottement mécanique dans la pompe, exprimer la puissance $P$ fournie en fonction de $v_{0}$ , $P_{e}$ , $P_{0}$ , $ρ_{0}$ et du débit volumique $D_{v}$ ; exprimer le rendement propulsif $k$ (fraction de puissance servant à l'impulsion de l'eau en sortie).
Q6. Calculer $P$ et $k$ ; commenter.

Corrigé

Q1. Système : une goutte d'eau, assimilée à un point matériel de masse $m$ , dans le référentiel terrestre supposé galiléen, repère $(O, x, z)$ de la figure 2. Bilan des forces : le poids $m g$ seul (frottements de l'air négligés). Principe fondamental de la dynamique : $m a = m g$ , soit $x ¨ = 0$ et $z ¨ = - g$ . Avec, à $t = 0$ , la goutte en $O$ et la vitesse $v_{0}$ inclinée de l'angle $α$ sur l'horizontale :

$x (t) = v_{0} cos α t, z (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α t .$

Ce sont des lois horaires. L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant $t = x / (v_{0} cos α)$ :

$z = x tan α - \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} x^{2}$

fonction du second degré de $x$ : la trajectoire est un arc de parabole, de concavité tournée vers le bas.

Portée. Le point d'impact ( $z = 0$ , $x \neq = 0$ ) est à l'abscisse

$x_{P} = \frac{2 v _{0}^{2} sin α cos α}{g} = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 α )}{g} .$

À $v_{0}$ fixé, $x_{P}$ est maximale quand $sin (2 α) = 1$ , soit $2 α = 9 0^{\circ}$ : $α = 4 5^{\circ}$ , et la portée maximale vaut $L = v_{0}^{2} / g$ . D'où

$v_{0} = g L = 9, 8 \times 150 = 1, 47 \times 1 0^{3} ≃ 38 m \cdot s^{- 1}$

(contrôle : $3 8^{2} = 1444$ ).

Diamètre du canon. L'eau incompressible sort du tube avec une vitesse uniforme $v_{0}$ sur la section $π d^{2} /4$ : $D_{v} = \frac{π d ^{2}}{4} v_{0}$ , avec $D_{v} = 6000 L \cdot mi n^{- 1} = \frac{6 , 0 m ^{3}}{60 s} = 0, 10 m^{3} \cdot s^{- 1}$ :

$d = \frac{4 D _{v}}{π v _{0}} = \frac{0 , 40}{3 , 14 \times 38} = 3, 4 \times 1 0^{- 3} ≃ 5, 8 \times 1 0^{- 2} m \approx 6 cm .$

Un tube de quelques centimètres de diamètre : c'est bien ce que montre la photo.

Ce que le correcteur attend : distinguer loi horaire $z (t)$ et trajectoire $z (x)$ ; justifier le maximum par $sin (2 α)$ (et non « par évidence ») ; un diamètre de quelques centimètres, pas de l'ordre du mètre.

Q2. Le jet est isobare. Sa surface libre est en contact avec l'air à la pression $P_{0}$ (on néglige la tension superficielle : la surpression de Laplace d'une goutte millimétrique, $2 σ / r \sim 1 0^{2} Pa$ , est négligeable devant $P_{0}$ ). À l'intérieur, chaque particule de fluide a, d'après Q1, l'accélération $g$ . L'équation d'Euler (fluide parfait) $ρ_{0} \frac{D v}{D t} = - grad P + ρ_{0} g$ donne alors $grad P = 0$ : la pression est uniforme dans le jet, égale à sa valeur à la surface, $P_{0}$ . Réciproquement, si la pression n'était pas uniforme, la résultante des forces de pression sur une particule ne serait pas nulle et le mouvement ne serait pas une chute libre. Isobare et incompressible sont deux propriétés distinctes et compatibles : la première porte sur $P$ , la seconde sur $ρ_{0}$ .

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →