Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I PSI — Partie II (Q7 à Q14) : Canon à poudre : gaz de Joule, détente polytropique, balistique intérieure

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un projectile $P$ de masse $M$ , à symétrie de révolution, glisse dans l'âme d'un canon, de rayon $a$ et de longueur $ℓ$ (la bouche est en $x = ℓ$ ). À $t = 0$ , son culot est en $x = 0$ ; derrière lui, la chambre de combustion de volume $V_{c}$ contient la poudre, dont la combustion propulse le projectile. Pendant le mouvement, les gaz occupent le volume $V (t) = V_{c} + π a^{2} X (t)$ , où $X$ est l'abscisse du projectile. Aucune fuite ; l'extérieur est vide ; pesanteur négligée.

{ Figure 4 — Projectile dans un canon.}

II.A Le modèle des gaz de Joule.

Grandeurs molaires $V_{m}$ , $U_{m}$ , $S_{m}$ ; identité thermodynamique $d U_{m} = T d S_{m} - P d V_{m}$ (2). Gaz de Joule : $U_{m} (T)$ ne dépend que de $T$ , et $S_{m} (T, V_{m}) = S_{0} + R ln (T^{\frac{1}{γ - 1}} (V_{m} - b))$ (3), avec $S_{0}$ , $R > 0$ , $b > 0$ et $γ > 1$ constants.

Q7. Déduire de (2) $U_{m} (T)$ et l'équation d'état $P (n, V, T)$ ; à quelles conditions retrouve-t-on le gaz parfait monoatomique ? (On exclut ce cas ensuite.)
Q8. Définir puis exprimer $C_{v m}$ et $C_{p m}$ ; commenter.

La combustion, instantanée, produit $n$ moles de gaz de Joule à la pression $P_{i}$ et à la température $T_{i}$ à $t = 0^{+}$ , dans le volume $V_{c}$ .

Q9. Pour une détente adiabatique et réversible, relation entre $P$ et $V_{m}$ (avec $b$ et $γ$ ).

On suppose désormais une évolution intérieurement réversible avec $δ Q = κ δ W$ ( $δ W$ , travail des forces de pression reçu par le gaz).

Q10. Signe de $κ$ ? Établir $P (V_{m} - b)^{q} = cte$ et exprimer $q$ en fonction de $κ$ et $γ$ .
Q11. Exprimer la force de poussée $F_{p} (t)$ sur le culot en fonction de $P_{i}$ , $V_{c}$ , $n$ , $b$ , $a$ , $X (t)$ et $q$ .
Q12. Cette force est-elle conservative ? Justifier.

II.B Balistique intérieure.

Âme lisse : translation sans frottement.

Q13. Établir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par $X (t)$ .
Q14. Montrer que l'impulsion de sortie est $p_{s} = p_{\infty} 1 - (\frac{X _{0}}{ℓ + X _{0}})^{q - 1}$ ; exprimer $X_{0}$ ( $a$ , $V_{c}$ , $b$ , $n$ ) et $p_{\infty}$ ( $M$ , $q$ , $n$ , $R$ , $T_{i}$ ) ; commenter $p_{\infty}$ .

Corrigé

Q7. D'après (3), $S_{m} = S_{0} + \frac{R}{γ - 1} ln T + R ln (V_{m} - b)$ , d'où la différentielle, en variables indépendantes $(T, V_{m})$ :

$d S_{m} = \frac{R}{( γ - 1 ) T} d T + \frac{R}{V _{m} - b} d V_{m} .$

Reportée dans l'identité thermodynamique (2) :

$d U_{m} = \frac{R}{γ - 1} d T + (\frac{R T}{V _{m} - b} - P) d V_{m} .$

Première loi de Joule : $U_{m}$ ne dépend que de $T$ , donc $d U_{m} = U_{m}^{'} (T) d T$ sans terme en $d V_{m}$ . Les variables $T$ et $V_{m}$ étant indépendantes, on identifie les coefficients :

$U_{m}^{'} (T) = \frac{R}{γ - 1} ⟹ U_{m} (T) = \frac{R T}{γ - 1} + cte et P = \frac{R T}{V _{m} - b} .$

Avec $V_{m} = V / n$ pour $n$ moles, l'équation d'état est

$P = \frac{n R T}{V - nb} soit P (V - nb) = n R T .$

$b$ est le covolume molaire : le volume propre des molécules, inaccessible au mouvement, qui n'est plus négligeable à très haute pression. $R$ est la constante des gaz parfaits (on retrouve $P V = n R T$ quand $V ≫ nb$ ).

Gaz parfait monoatomique : il faut $b = 0$ (équation $P V = n R T$ ) et $U_{m} = \frac{3}{2} R T$ , soit $\frac{1}{γ - 1} = \frac{3}{2}$ , c'est-à-dire $γ = \frac{5}{3}$ .

Ce que le correcteur attend : ne pas utiliser $P V = n R T$ (l'énoncé l'exclut) ni supposer $T$ ou $P$ constants pour intégrer : tout vient de l'identification des deux différentielles.

Q8. Définitions. $C_{v m} = (\frac{\partial U _{m}}{\partial T})_{V_{m}}$ et $C_{p m} = (\frac{\partial H _{m}}{\partial T})_{P}$ , où $H_{m} = U_{m} + P V_{m}$ est l'enthalpie molaire.

Expressions. D'après Q7, $C_{v m} = \frac{R}{γ - 1}$ . Pour $H_{m}$ , à $P$ fixée, l'équation d'état donne $P V_{m} = P b + R T$ , donc

$H_{m} (T, P) = \frac{R T}{γ - 1} + R T + b P = \frac{γ R T}{γ - 1} + b P ⟹ C_{p m} = \frac{γ R}{γ - 1}$

Commentaire. Les capacités thermiques sont constantes et identiques à celles d'un gaz parfait de même $γ$ : la relation de Mayer $C_{p m} - C_{v m} = R$ et $C_{p m} / C_{v m} = γ$ restent vraies. En revanche, l'enthalpie dépend de la pression (terme $b P$ ) : le gaz de Joule ne suit pas la seconde loi de Joule. Le covolume ne modifie que l'équation d'état et l'enthalpie, pas les capacités thermiques.

Q9. Le système est le gaz, fermé ( $n$ fixé : aucune fuite) et uniforme. La transformation étant adiabatique (entropie échangée nulle) et réversible (entropie créée nulle), $S = n S_{m}$ est constante, donc $S_{m}$ l'est. D'après (3) :

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