Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I PSI — Partie III.A (Q15 à Q19) : Canon électromagnétique : champ d'un fil, force de Laplace, courant et rendement

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un canon électromagnétique accélère un projectile conducteur, en contact électrique avec deux rails conducteurs parcourus par un courant fourni par des batteries (figure 5, extrait du brevet de Fauchon-Villeplée, 1917 : le projectile glisse entre les deux rails ; aucune question ne s'appuie sur ce dessin). Il repose sur le champ magnétique $B$ créé par le courant $I$ du circuit.

Modèle : fil infini cylindrique confondu avec l'axe $(O z)$ , parcouru par $I$ ; un point $M$ extérieur au fil a pour coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ . Perméabilité du vide $μ_{0} = 1, 3 \times 1 0^{- 6} H \cdot m^{- 1}$ .

{ Figure 6 — Fil infini créant en $M$ un champ magnétique ( $e_{θ}$ sort du plan de la figure).}

Q15. Direction de $B$ en $M$ ; composantes de $B$ dans la base cylindrique en fonction des coordonnées de $M$ .

Expérience de 1917 : projectile de masse $m = 50 g$ , canon de longueur $ℓ = 25 m$ , impulsion de sortie $p_{s} = 10 kg \cdot m \cdot s^{- 1}$ , écartement des rails $d \approx 1 cm$ .

Q16. Accélération $a$ supposée constante : exprimer la durée $Δ t$ du tir en fonction de $ℓ$ et $a$ , puis $a$ en fonction de $m$ , $p_{s}$ et $ℓ$ . Peut-on négliger le poids pour un tir non horizontal ?
Q17. Rappeler la force de Laplace. Champ supposé uniforme : exprimer son intensité minimale $B_{0}$ en fonction de $a$ , $m$ , $d$ et $I$ .
Q18. Ce champ est assimilé à celui d'un fil infini à la distance $d /2$ du projectile : exprimer puis calculer le courant minimal $I$ en fonction de $m$ , $a$ et $μ_{0}$ .
Q19. Résistance électrique du système : $R$ . Rendement de propulsion $η$ : énergie cinétique du projectile sur énergie électrique nécessaire au tir. Montrer que $η = R_{u} / R$ avec $R_{u}$ fonction de $μ_{0}$ , $m$ et $p_{s}$ . Sachant que $R_{u} ≃ 1 0^{- 7} Ω$ , conclure.

Corrigé

Q15. Symétries. Le plan contenant l'axe $(O z)$ et le point $M$ , c'est-à-dire le plan $(M, e_{r}, e_{z})$ , est un plan de symétrie de la distribution de courants. Le champ magnétique, pseudo-vecteur, est perpendiculaire en $M$ à tout plan de symétrie des courants : $B (M) = B e_{θ}$ , il est orthoradial.

Invariances. La distribution est invariante par rotation autour de $(O z)$ et par translation le long de $(O z)$ (fil infini) : $B$ ne dépend ni de $θ$ ni de $z$ , $B = B (r)$ .

Théorème d'Ampère sur le cercle $C$ d'axe $(O z)$ , de rayon $r$ , passant par $M$ , orienté selon $e_{θ}$ (donc, par la règle de la main droite, en accord avec le sens de $I$ selon $+ e_{z}$ ) : sur $C$ , $B$ est tangent et de norme constante, et le courant enlacé vaut $I$ :

$\oint_{C} B \cdot d ℓ = 2 π r B (r) = μ_{0} I ⟹ B (M) = \frac{μ _{0} I}{2 π r} e_{θ}$

Composantes : $B_{r} = 0$ , $B_{θ} = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ , $B_{z} = 0$ ; elles ne dépendent que de $r$ . Sur la figure 6, $e_{θ} = e_{z} \land e_{r}$ sort du plan : les lignes de champ sont des cercles d'axe $(O z)$ parcourus dans le sens direct autour de $e_{z}$ .

Q16. Système : le projectile, dans le référentiel du canon (supposé galiléen), parti du repos en $x = 0$ avec l'accélération constante $a$ . Lois horaires : $v (t) = a t$ et $x (t) = \frac{1}{2} a t^{2}$ . La sortie a lieu en $x = ℓ$ :

$Δ t = \frac{2 ℓ}{a} et v_{s} = a Δ t = 2 a ℓ .$

Avec $p_{s} = m v_{s}$ , $p_{s}^{2} = 2 m^{2} a ℓ$ , d'où

$a = \frac{p _{s}^{2}}{2 m ^{2} ℓ} = \frac{1 0 ^{2}}{2 \times ( 5 , 0 \times 1 0 ^{- 2} ) ^{2} \times 25} = 8, 0 \times 1 0^{2} m \cdot s^{- 2},$

ainsi que $v_{s} = p_{s} / m = 2, 0 \times 1 0^{2} m \cdot s^{- 1}$ et $Δ t = 2 ℓ / v_{s} = 0, 25 s$ .

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