Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique I PSI — Partie III.B (Q20 à Q25) : Canon à rails : loi de Faraday, inductance variable, équations du mouvement

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique I PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un générateur de tension constante $E_{0}$ , situé en $x < 0$ , alimente deux rails de guidage parallèles ; le circuit est fermé par le projectile, d'abscisse $X (t)$ , qui part de $X (0) = 0$ et quitte le canon en $X (Δ t) = ℓ$ . La résistance $R (X)$ et l'inductance propre $L (X)$ du circuit dépendent a priori de $X$ ; le courant $I (t)$ est variable. Projectile de masse $m$ ; poids et frottements négligés. Les rails, distants de $d$ , sont en matériau de conductivité $γ$ , de hauteur $h$ et d'épaisseur $e$ .

{ Figure 7 — Le propulseur d'un canon électromagnétique et son schéma équivalent.}

Q20. Rappeler la loi de Faraday. Que dire, pour la figure 7, de la distinction entre induction de Neumann (circuit fixe, champ variable) et de Lorentz (circuit mobile, champ statique) ?
Q21. Établir l'équation électrique reliant $E_{0}$ , $L (X)$ , $R (X)$ , $I (t)$ , $X (t)$ et leurs dérivées.
Q22. Justifier que la force propulsive est $F = I^{2} (t) \frac{d L}{d X}$ ; en déduire l'équation mécanique du mouvement.
Q23. En quelques lignes, expliquer pourquoi l'argument « les rails ont la longueur $ℓ$ quelle que soit la position du projectile », qui justifierait $R (X) ≃ cte$ , est faux. Résistances du projectile et du générateur négligées : justifier $R (X) = ρX$ et exprimer $ρ$ .
Q24. Effets de bord négligés, champ uniforme par zones dans le plan $z = 0$ du projectile : montrer, hypothèses à l'appui, qu'entre les rails $B_{0} ≃ μ_{0} I / h$ (penser au solénoïde infini) ; en déduire $\frac{d L}{d X}$ .

Les équations du mouvement prennent la forme non linéaire $\frac{d ^{2} X}{d t ^{2}} = α I^{2}$ et $X I + τ (I \frac{d X}{d t} + X \frac{d I}{d t}) = β$ .

Q25. Exprimer les constantes positives $α$ , $β$ et $τ$ ; dimension et interprétation de $τ$ .

Corrigé

Q20. Loi de Faraday. Soit un circuit filiforme fermé $C$ , orienté, éventuellement mobile ou déformable, placé dans un champ magnétique $B$ éventuellement variable (dans le cadre de l'ARQS). La force électromotrice induite $e$ le long de $C$ , comptée dans le sens d'orientation du circuit, est

$e = - \frac{d Φ}{d t} avec Φ = \iint_{S} B \cdot d S,$

où $Φ$ (en webers) est le flux de $B$ à travers une surface $S$ quelconque s'appuyant sur $C$ , orientée par la règle de la main droite à partir du sens de $C$ ; $e$ s'exprime en volts. Le circuit se comporte alors comme un générateur de fem $e$ , en convention générateur dans le sens de $C$ . Le signe « moins » traduit la loi de Lenz : les effets de l'induction s'opposent à la variation du flux qui leur donne naissance.

Neumann ou Lorentz ? Sur la figure 7, les deux causes sont présentes à la fois : le circuit est mobile (le projectile avance, la surface du circuit croît) et le champ n'est pas statique, puisqu'il est créé par le courant $I (t)$ du circuit lui-même, qui varie ; de plus, la zone où règne le champ se déplace avec le projectile. La distinction n'est donc pas pertinente ici (elle dépend d'ailleurs du référentiel d'étude). Seule compte la loi de Faraday, qui englobe les deux cas : on l'applique au flux propre $Φ = L (X) I (t)$ , qui varie par $X$ (mouvement) et par $I$ (variation du champ).

Q21. On oriente le circuit dans le sens de $I$ , celui dans lequel $E_{0}$ fait circuler le courant. Le seul champ magnétique est celui que crée le circuit, d'où le flux propre $Φ = L (X) I$ et, par la loi de Faraday,

$e = - \frac{d}{d t} (L (X) I) = - L (X) \frac{d I}{d t} - I \frac{d L}{d X} \frac{d X}{d t} .$

La loi des mailles dans le circuit équivalent (générateur $E_{0}$ , fem induite $e$ , résistance $R (X)$ ) s'écrit $E_{0} + e = R (X) I$ , soit

$E_{0} = R (X) I + L (X) \frac{d I}{d t} + I \frac{d L}{d X} X ˙$

Le dernier terme, fem due au mouvement, couple l'équation électrique à la mécanique.

Ce que le correcteur attend : le terme $I X ˙ d L / d X$ , issu de la dérivée du flux, et non une vitesse injectée « à la main » dans la loi des mailles.

Q22. Justification par la force de Laplace. Le projectile est un conducteur de longueur $d$ , parcouru d'un rail à l'autre par le courant $I$ , dans le champ $B$ perpendiculaire au plan du circuit. Si $B$ désigne le champ qu'il subit, la force de Laplace (Q17) est dirigée selon $e_{x}$ et vaut $F = I d B$ . Quand le projectile avance de $d X$ , la surface du circuit augmente de $d d X$ et, à courant fixé, le flux propre de $d Φ = B d d X = I d L$ : $B d = I d L / d X$ . Donc

$F = I d B = I^{2} \frac{d L}{d X},$

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