Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II MP — Partie I (Q1 à Q11) : Marées gravimétriques : champ de pesanteur en référentiel géocentrique, effets de la Lune et du Soleil

Q1. Lecture de la figure 1 (ce sont des durées entre deux répétitions d'un motif, pas des dates) :

• les maxima se succèdent à intervalles réguliers : on en compte une dizaine entre les jours 57120 et 57125, et $33$ intervalles entre deux maxima consécutifs du jour 57127{,}1 au jour 57144{,}2, d'où ${\tau }_1\simeq 17/33\simeq 0,5\mathrm{j}$, soit $\boxed{{\tau }_1\simeq 12\mathrm{h}}$ ;
• deux maxima (ou deux minima) successifs n'ont pas la même hauteur : un creux profond alterne avec un creux peu profond, et le motif complet se répète une fois par jour, $\boxed{{\tau }_2\simeq 1\mathrm{j}}$ ;
• l'amplitude des oscillations est modulée lentement : écart crête à crête maximal (près de $2000\mathrm{nm}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$) vers le jour 57131, minimal (environ $900\mathrm{nm}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$) vers le jour 57140, de nouveau grand vers le jour 57146 ; d'où $\boxed{{\tau }_3\simeq 14\text{aˋ}15\mathrm{j}}$.

Conjectures : ${\tau }_2$ est la durée d'un tour de la Terre sur elle-même : le point $M$ repasse chaque jour dans la même position par rapport à la Lune et au Soleil. ${\tau }_1={\tau }_2/2$ suggère un effet qui se reproduit deux fois par tour, c'est-à-dire quand l'astre est au-dessus de $M$ et quand il est à l'opposé : c'est la signature des marées (deux « bourrelets » diamétralement opposés). ${\tau }_3$, environ une demi-lunaison, évoque l'alternance des marées de vives-eaux (Soleil, Terre et Lune alignés, nouvelle ou pleine Lune) et de mortes-eaux (Lune en quadrature). L'ordre de grandeur, $10^3\mathrm{nm}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}=10^{-6}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$, soit $10^{-7}\bar{g}$, montre qu'il s'agit d'un effet très faible.

Q2. Référentiel galiléen : référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : tout point matériel isolé (ou pseudo-isolé) y est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Deux référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre.

Référentiel de Copernic ${\mathcal{R}}_0$ : origine au centre de masse du système solaire (pratiquement le centre du Soleil), axes dirigés vers trois étoiles lointaines, considérées comme fixes.

Référentiel géocentrique ${\mathcal{R}}_g$ : origine au centre $T$ de la Terre, axes parallèles à ceux de ${\mathcal{R}}_0$ ; il est donc en translation par rapport à ${\mathcal{R}}_0$ (il ne tourne pas avec la Terre).

Q3. ${\mathcal{R}}_g$ est en translation par rapport à ${\mathcal{R}}_0$, mais cette translation n'est ni rectiligne ni uniforme : $T$ décrit dans ${\mathcal{R}}_0$ une orbite quasi circulaire de rayon $d_S$, parcourue en un an ($T_S\simeq 3,16\times 10^7\mathrm{s}$). L'accélération d'entraînement, commune à tous les points de ${\mathcal{R}}_g$, est celle de $T$ :

$$a_e={\left(\frac{2\pi }{T_S}\right)}^2{d}_S\simeq {\left(2,0\times 10^{-7}\right)}^2\times 1,5\times 10^{11}\simeq 6\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}\ne 0.$$

Un point isolé immobile dans ${\mathcal{R}}_0$ aurait dans ${\mathcal{R}}_g$ l'accélération $-{\overrightarrow{a}}_e$ : le principe d'inertie y est en défaut, ${\mathcal{R}}_g$ n'est pas galiléen. (On retrouve cette valeur par le principe fondamental appliqué à la Terre dans ${\mathcal{R}}_0$ : $a_e=G{m}_S/d_S^2=6,0\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$.) Ce que le correcteur attend : ${\mathcal{R}}_g$ n'est pas en rotation par rapport à ${\mathcal{R}}_0$, il est en translation quasi circulaire.

Q4. Théorème de Gauss gravitationnel : le flux du champ de gravitation à travers toute surface fermée $S$ est proportionnel à la masse $M_{\mathrm{int}}$ qu'elle contient :

$$\oint {\oint }_S\overrightarrow{\mathcal{G}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=-4\pi G{M}_{\mathrm{int}}$$

(analogue du théorème de Gauss électrostatique, avec $q\leftrightarrow m$ et $1/{\epsilon }_0\leftrightarrow -4\pi G$).

Champ d'un astre à symétrie sphérique. En coordonnées sphériques de centre $A$, la distribution est invariante par toute rotation autour de $A$ : la norme du champ ne dépend que de $r=AM$. Tout plan contenant $A$ et $M$ est plan de symétrie : ${\overrightarrow{\mathcal{G}}}_A(M)$ est porté par $\overrightarrow{AM}$. Donc ${\overrightarrow{\mathcal{G}}}_A(M)=\mathcal{G}(r)\overrightarrow{AM}/r$. Surface de Gauss : la sphère de centre $A$ et de rayon $r>R_A$, qui contient toute la masse $m_A$ :

$$4\pi r^2\mathcal{G}(r)=-4\pi G{m}_A⟹\boxed{{\overrightarrow{\mathcal{G}}}_A(M)=-G{m}_A\frac{\overrightarrow{AM}}{A{M}^3}}(AM>R_A).$$

À l'extérieur, l'astre crée le même champ qu'un point matériel de masse $m_A$ placé en $A$.

Q5. Dans ${\mathcal{R}}_g$ :

• $M$, lié à la Terre, fait un tour en un jour : $T_M\simeq 1\mathrm{j}$ (exactement un jour sidéral, $23\mathrm{h}56\min =86164\mathrm{s}$) ;
• la Lune fait le tour de la Terre en $T_L\simeq 27\mathrm{j}$ (mois sidéral $27,3\mathrm{j}$ ; la lunaison, de nouvelle Lune à nouvelle Lune, dure $29,5\mathrm{j}$) ;
• le Soleil, vu de la Terre, fait le tour en un an : $T_S\simeq 365\mathrm{j}$.