Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II MP — Partie II (Q12 à Q23) : Gravimètre à atomes froids : chute libre et interférences d'ondes de matière

Q12. Photon. D'après la relation de Planck-Einstein, un photon de longueur d'onde ${\lambda }_0$ a l'énergie $hc/{\lambda }_0$ ; sa quantité de mouvement vaut $E/c$ (c'est aussi la relation de de Broglie $p=h/\lambda$) :

$$\boxed{p_{\gamma }=\frac{h}{{\lambda }_0}}=\frac{6,6\times 10^{-34}}{7,8\times 10^{-7}}\simeq 8,5\times 10^{-28}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}.$$

Agitation thermique. L'énergie cinétique associée au mouvement selon $Oz$, $p^2/2m$, est un terme quadratique ; à l'équilibre thermique à $T_0$, le théorème d'équipartition lui attribue la valeur moyenne $\frac{1}{2}{k}_B{T}_0$ :

$$\frac{⟨p^2⟩}{2m}=\frac{1}{2}{k}_B{T}_0⟹\boxed{p_0=\sqrt{m{k}_B{T}_0}}.$$

Avec $m=85\times 1,7\times 10^{-27}=1,4\times 10^{-25}\mathrm{kg}$ et $T_0=1\mu \mathrm{K}$ : $p_0=\sqrt{1,4\times 10^{-25}\times 1,3\times 10^{-23}\times 10^{-6}}=\sqrt{1,9\times 10^{-54}}\simeq 1,4\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

Commentaires : $p_{\gamma }/p_0\simeq 0,6$ : à quelques microkelvins, l'impulsion d'un seul photon est comparable à celle de l'agitation thermique. Les vitesses correspondantes sont $p_{\gamma }/m\simeq 6\mathrm{mm}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ (vitesse de recul) et $p_0/m\simeq 1\mathrm{cm}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ : les atomes sont quasi immobiles. La longueur d'onde de de Broglie thermique $h/p_0\simeq 5\times 10^{-7}\mathrm{m}$ est du même ordre que ${\lambda }_0$ : le comportement ondulatoire des atomes est notable. En revanche, la pesanteur apporte en une durée $\tau$ la quantité de mouvement $mg\tau \simeq 7\times 10^{-26}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, environ $50p_0$ (ce point revient en Q23).

Q13. Système : le centre du paquet $j$, assimilé à une particule de masse $m$. Référentiel : terrestre, galiléen. Force : le poids $mg{\overrightarrow{e}}_z$ seul. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur ${\overrightarrow{e}}_z$ donne $\mathrm{d}{p}_j/\mathrm{d}t=mg$, d'où, pendant l'étape (a),

$$p_j(t)=p_j(0^{+})+mgt,z_j(t)=z_j(0)+\frac{p_j(0^{+})}{m}t+\frac{1}{2}g{t}^2.$$

Comme $p_j>0$ à tout instant, l'atome descend sans rebrousser chemin et la distance parcourue est égale au déplacement :

$$\boxed{d_{1,a}=\frac{p_0\tau }{m}+\frac{g{\tau }^2}{2}},\boxed{d_{2,a}=\frac{(p_0+p_{\gamma })\tau }{m}+\frac{g{\tau }^2}{2}}.$$

Q14. Juste avant $\tau$ : $p_1({\tau }^{-})=p_0+mg\tau$ et $p_2({\tau }^{-})=p_0+p_{\gamma }+mg\tau$. Après l'impulsion : $p_1({\tau }^{+})=p_0+p_{\gamma }+mg\tau$ et $p_2({\tau }^{+})=p_0+mg\tau$ (toujours positifs). Pendant l'étape (b), la même loi donne $d=p({\tau }^{+})\tau /m+g{\tau }^2/2$ :

$$\boxed{d_{1,b}=\frac{(p_0+p_{\gamma })\tau }{m}+\frac{3g{\tau }^2}{2}},\boxed{d_{2,b}=\frac{p_0\tau }{m}+\frac{3g{\tau }^2}{2}}.$$

Partis tous deux de $z=0$, les centres sont à $t=2\tau$ en

$$d_{1,a}+d_{1,b}=d_{2,a}+d_{2,b}=\frac{(2p_0+p_{\gamma })\tau }{m}+2g{\tau }^2\stackrel{\text{deˊf}}{=}{z}_0:$$

ils occupent la même position. Numériquement, $z_0\simeq 5,0\mathrm{cm}$ (dominé par $2g{\tau }^2=4,9\mathrm{cm}$), et l'écart maximal entre les deux paquets, atteint à $t=\tau$, vaut $p_{\gamma }\tau /m\simeq 0,3\mathrm{mm}$. Après la troisième impulsion, $p_1=p_2=p_0+2mg\tau$ : les deux paquets ont même position et même quantité de mouvement, ils se recombinent (interféromètre de type Mach-Zehnder pour ondes de matière). Positions repérées par rapport à un atome qui n'aurait reçu aucune impulsion, ${\xi }_j=z_j-p_{0}t/m-g{t}^2/2$ :

Q15. Le poids dérive d'une énergie potentielle : $mg{\overrightarrow{e}}_z=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}{\overrightarrow{e}}_z$, d'où, avec $V(0)=0$ et l'axe descendant,

$$\boxed{V(z)=-mgz}.$$

La seule force étant conservative, l'énergie mécanique se conserve :

$$\boxed{E=\frac{p^2(z)}{2m}-mgz}\text{soit}p(z)=\sqrt{2m(E+mgz)},$$

avec $p>0$ pour un atome qui descend.

Q16. Séparation des variables. Avec $\psi =\varphi (z)\zeta (t)$ et $\Delta \psi ={\varphi }^{\prime \prime }(z)\zeta (t)$, l'équation de Schrödinger devient

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\varphi }^{\prime \prime }\zeta +V\varphi \zeta =i\hslash \varphi {\zeta }^{\prime }⟹\frac{1}{\varphi (z)}\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\varphi }^{\prime \prime }(z)+V(z)\varphi (z)\right)=i\hslash \frac{{\zeta }^{\prime }(t)}{\zeta (t)}$$

(division par $\varphi \zeta$, là où il ne s'annule pas). Le membre de gauche ne dépend que de $z$, celui de droite que de $t$ : égaux pour tous $z$ et $t$, ils sont égaux à une même constante, notée $E$. D'où deux équations différentielles indépendantes :

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\varphi }^{\prime \prime }+V(z)\varphi =E\varphi (\text{Schro¨dinger stationnaire}),i\hslash {\zeta }^{\prime }=E\zeta .$$