Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II MPI — Partie II (Q8 à Q16) : Moteur à essence : théorème de Carnot, loi de Laplace, cycle de Beau en coordonnées logarithmiques

Sujet officiel du concours Mines-Ponts, session 2025, épreuve Physique II MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Machine ditherme à air, pseudo-cyclique (air rejeté et air admis en même quantité ; carburant négligé). Source froide : l'air ambiant, $T_{f} = 2 7^{\circ} C$ ; source chaude à $T_{c}$ , au moins égale à la température maximale du cycle.

II.A. Carburant : énergie de combustion $W_{v} = 3, 6 \times 1 0^{7} J \cdot L^{- 1}$ . À $v = 100 km \cdot h^{- 1}$ stabilisée, le moteur fournit $P = 18 kW$ et consomme $q = 5, 4 L$ aux $100 km$ .

II.B. $C_{V} = (\partial U / \partial T)_{V}$ , $C_{P} = (\partial H / \partial T)_{P}$ , $γ = C_{P} / C_{V}$ constant. Entropie molaire admise d'un gaz parfait :

$s_{m} (T, V) = s_{m} (T_{0}, V_{0}) + \frac{R}{γ - 1} ln \frac{T}{T _{0}} + R ln \frac{V}{V _{0}} . (1)$

II.C. L'air, gaz parfait diatomique pris à $p_{0}$ , décrit le cycle de Beau entre $V_{1}$ et $V_{2} = α V_{1}$ ( $α > 1$ ) : admission $E A$ , compression adiabatique $A B$ , combustion instantanée $B C$ , détente adiabatique $C D$ , chute de pression $D A$ , échappement $A E$ ( $E A$ et $A E$ ignorées). Figure 3 : le cycle en coordonnées $(ln V, ln P)$ .

{Figure 3 — Cycle moteur de Beau à quatre temps en échelle logarithmique}

Q8. Définir le rendement $η$ d'un moteur ditherme ; énoncer et démontrer le théorème de Carnot.
Q9. Calculer le rendement réel $η_{r}$ ; quelle inégalité sur $T_{c}$ le théorème de Carnot impose-t-il ? Est-elle vérifiée avec $T_{c} ≃ 2000 K$ ?
Q10. De quelles variables dépendent $U$ et $H$ d'un gaz parfait ? Exprimer $C_{P}$ et $C_{V}$ en fonction de $n$ , $γ$ et d'une constante fondamentale.
Q11. Déduire de (1) la loi de Laplace reliant $P$ et $V$ lors d'une évolution isentropique depuis $(P_{0}, V_{0})$ .
Q12. Toutes les évolutions étant réversibles, montrer que $A B$ et $C D$ sont deux droites parallèles et donner leur pente commune $p_{rv} < 0$ .
Q13. Reproduire la figure 3 en y ajoutant les isothermes $T_{f}$ (température minimale du cycle) et $T_{c}$ (température maximale).
Q14. Exprimer les transferts thermiques sur $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ en fonction de $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ , $T_{D}$ ; en déduire le rendement $η_{rv}$ puis montrer que $η_{rv} = 1 - α^{1 - γ}$ .
Q15. Calculer $η_{rv}$ pour $α = 9$ et $γ = 1, 4$ ; commenter.
Q16. Le cycle réel $A B^{'} C^{'} D^{'} A$ a des adiabatiques irréversibles, toujours rectilignes dans la figure 3, de pentes $p_{comp}^{'}$ (compression $A B^{'}$ ) et $p_{det}^{'}$ (détente). Montrer par le second principe que $p_{comp}^{'} < p_{rv} < p_{det}^{'}$ .

Corrigé

Conventions.

Les transferts $W$ (travail) et $Q$ (transfert thermique) sont reçus par le système. Le système est l'air enfermé dans le cylindre, de quantité de matière $n$ fixée ; le fonctionnement pseudo-cyclique permet de le traiter comme un système fermé décrivant un cycle (l'air rejeté et l'air admis sont dans le même état). $T_{f} = 27 + 273 = 300 K$ .

Q8. Rendement. Sur un cycle, le moteur reçoit $Q_{c} > 0$ de la source chaude, $Q_{f} < 0$ de la source froide, et fournit du travail ( $W < 0$ ). Le rendement est le rapport de l'énergie utile à l'énergie coûteuse :

$η = \frac{- W}{Q _{c}} .$

Théorème de Carnot. Le rendement d'un moteur ditherme fonctionnant entre deux sources de températures $T_{c} > T_{f}$ est majoré par le rendement de Carnot :

$η \leq η_{C} = 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}},$

l'égalité n'étant atteinte que pour un cycle réversible ; tous les moteurs dithermes réversibles fonctionnant entre les mêmes sources ont donc le même rendement $η_{C}$ .

Démonstration. On applique les deux principes au fluide sur un cycle. $U$ et $S$ sont des fonctions d'état : elles reprennent leur valeur initiale, $Δ U = 0$ et $Δ S = 0$ .

Premier principe : $Δ U = W + Q_{c} + Q_{f} = 0$ , donc $- W = Q_{c} + Q_{f}$ .
Second principe : $Δ S = S_{e ˊ ch} + S_{cr}$ , où l'entropie échangée avec les deux thermostats vaut $S_{e ˊ ch} = \frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}}$ et l'entropie créée $S_{cr} \geq 0$ (nulle si et seulement si le cycle est réversible). Donc $\frac{Q _{c}}{T _{c}} + \frac{Q _{f}}{T _{f}} = - S_{cr} \leq 0$ : c'est l'inégalité de Clausius.

Comme $Q_{c} > 0$ , on en tire $\frac{Q _{f}}{Q _{c}} \leq - \frac{T _{f}}{T _{c}}$ , puis

$η = \frac{Q _{c} + Q _{f}}{Q _{c}} = 1 + \frac{Q _{f}}{Q _{c}} \leq 1 - \frac{T _{f}}{T _{c}},$

avec égalité si et seulement si $S_{cr} = 0$ , c'est-à-dire pour un cycle réversible.

Ce que le correcteur attend : les deux principes cités, la nullité de $Δ U$ et $Δ S$ justifiée par le caractère de fonction d'état, et la démonstration que $η_{C}$ est un maximum (pas seulement sa valeur).

Q9. Rendement réel. À $v = 100 km \cdot h^{- 1}$ , parcourir $L = 100 km$ dure $Δ t = L / v = 1 h = 3600 s$ . Pendant ce temps, le moteur fournit le travail $P Δ t$ et la combustion du carburant libère l'énergie $q W_{v}$ , qui joue le rôle du transfert thermique reçu de la source chaude. Donc

$η_{r} = \frac{P Δ t}{q W _{v}} = \frac{P L}{v q W _{v}} = \frac{1 , 8 \times 1 0 ^{4} \times 3 , 6 \times 1 0 ^{3}}{5 , 4 \times 3 , 6 \times 1 0 ^{7}} = \frac{1}{3}, η_{r} \approx 0, 33.$

Inégalité de Carnot. D'après Q8, $η_{r} \leq 1 - T_{f} / T_{c}$ , soit

$T_{c} \geq \frac{T _{f}}{1 - η _{r}} = \frac{300}{2/3} = 4, 5 \times 1 0^{2} K .$

Vérification. Avec $T_{c} ≃ 2000 K$ , l'inégalité est largement vérifiée ; le rendement de Carnot correspondant, $η_{C} = 1 - 300/2 000 = 0, 85$ , est bien supérieur au rendement réel : le moteur est loin de la réversibilité.

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