Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II MPI — Partie III.A (Q17 à Q21) : Onde radar dans l'acier : modèle de Drude, relation de dispersion, effet de peau, transparence

Q17. Équations de Maxwell dans le vide (ni charge ni courant) :

$$\begin{array}{c}\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0\text{(Maxwell–Gauss)},\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0\text{(Maxwell–flux)},\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\text{(Maxwell–Faraday)},\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\text{(Maxwell–Ampeˋre)}.\end{array}$$

On prend le rotationnel de Maxwell--Faraday et l'on utilise la formule d'analyse vectorielle fournie :

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{E})-\Delta \overrightarrow{E}=-\Delta \overrightarrow{E},$$

et, d'après Maxwell--Ampère,

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=-\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2},$$

d'où l'équation de d'Alembert

$$\boxed{\Delta \overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0},c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}}$$

(numériquement $1/\sqrt{1,3\times 10^{-6}\times 8,9\times 10^{-12}}\approx 2,9\times 10^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, cohérent avec la valeur de $c$ fournie). Pour ${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{inc}}$, $\Delta \to -k^2$ et ${\partial }^2/\partial t^2\to -{\omega }^2$ : $\left(-k^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}\right){\overrightarrow{E}}_{\mathrm{inc}}=\overrightarrow{0}$, d'où la relation de dispersion

$$\boxed{k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}},k=\frac{\omega }{c}>0\text{(propagation vers les z croissants)}.$$

La longueur d'onde est la période spatiale : ${\lambda }_0=\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi c}{\omega }$, soit

$$\boxed{{\lambda }_0=\frac{c}{f}.}$$

Q18. Dimension de ${\gamma }_0$. La relation ${\gamma }_0\overrightarrow{E}=\overrightarrow{ȷ}+\dots$ donne $[{\gamma }_0]=[ȷ]/[E]$. Une densité de courant est un courant par unité de surface : $[ȷ]=\mathrm{I}{\mathrm{L}}^{-2}$. Le champ électrique se déduit de la force de Lorentz $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$ : $[E]=\frac{\mathrm{M}\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-2}}{\mathrm{I}\mathrm{T}}=\mathrm{M}\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-3}{\mathrm{I}}^{-1}$. Donc

$$\boxed{[{\gamma }_0]={\mathrm{M}}^{-1}{\mathrm{L}}^{-3}{\mathrm{T}}^3{\mathrm{I}}^2}$$

c'est une conductivité électrique, en $\mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$ (${\gamma }_0$ est la conductivité de l'acier en régime permanent).

Signification de $\tau$. Si le champ est brusquement annulé, $\overrightarrow{ȷ}+\tau \partial \overrightarrow{ȷ}/\partial t=\overrightarrow{0}$ : le courant décroît comme ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }$. $\tau$ est le temps de relaxation du courant, c'est-à-dire, dans le modèle de Drude, la durée moyenne entre deux collisions d'un électron de conduction (le PFD $m\mathrm{d}\overrightarrow{v}/\mathrm{d}t=-e\overrightarrow{E}-m\overrightarrow{v}/\tau$ redonne exactement cette loi, avec ${\gamma }_0=n{e}^2\tau /m$). Pour $\omega \tau \ll 1$ on retrouve la loi d'Ohm $\overrightarrow{ȷ}={\gamma }_0\overrightarrow{E}$.