Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II MPI — Parties III.B et III.C (Q22 à Q25) : Réflexion sur un miroir mobile, courants surfaciques, effet Doppler et détection par battement

Notations de la partie III.A (figure 4) : onde incidente ${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{inc}}=E_0\exp [\mathrm{i}(\omega t-kz)]{\overrightarrow{e}}_x$ dans le vide $z<z_S$. On admet désormais l'absence totale d'onde transmise ($\bar{T}=0$ dans l'équation (2)). La surface du métal peut porter une charge surfacique $\sigma (t)$ et des courants surfaciques ${\overrightarrow{ı}}_s(t)$ ; relations de passage d'un milieu I vers un milieu II :

$${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{II}}-{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{I}}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}{\overrightarrow{n}}_{\mathrm{I}\to \mathrm{II}},{\overrightarrow{B}}_{\mathrm{II}}-{\overrightarrow{B}}_{\mathrm{I}}={\mu }_0{\overrightarrow{ı}}_s\wedge {\overrightarrow{n}}_{\mathrm{I}\to \mathrm{II}}.(3)$$

III.B. D'abord le véhicule est immobile, $z_S=0$ ; l'onde réfléchie a même polarisation et même fréquence et se propage en sens inverse. Ensuite le véhicule, en $z_S=0$ à $t=0$, se dirige à la vitesse $v$ vers l'émetteur : $z_S=-vt$, et l'on cherche ${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{ref}}=E_0^{\prime }\exp [\mathrm{i}({\omega }^{\prime }t+k^{\prime }z)]{\overrightarrow{e}}_x$.

III.C. On veut mesurer l'écart relatif $\Delta =\left|{\omega }^{\prime }-\omega \right|/\omega$ (avec $\left|v\right|\ll c$) par un dispositif placé au niveau de l'émetteur fixe, en $z=-\ell$ (figure 6) : un multiplieur forme le produit d'un signal $s$ proportionnel au champ émis en $z=-\ell$ et d'un signal $s^{\prime }$ proportionnel au champ réfléchi reçu au même point ; un filtre de fréquence de coupure $f_c$ suit, puis un analyseur de spectre mesure la fréquence fondamentale $f_1$ du signal filtré. Donnée : $\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }=\frac{1}{2}[\cos (\theta +{\theta }^{\prime })+\cos (\theta -{\theta }^{\prime })]$.

{Figure 6 — Circuit de mesure de vitesse}

Q22. Véhicule immobile : montrer l'absence de charge surfacique et expliciter complètement le champ électrique de l'onde réfléchie.
Q23. Véhicule en mouvement : quelles relations lient $\omega$ et $k$, puis ${\omega }^{\prime }$ et $k^{\prime }$ ? Exprimer $E_0^{\prime }$ en fonction de $E_0$, puis ${\omega }^{\prime }$ en fonction de $\omega$, $v$, $c$.
Q24. Montrer l'existence de courants surfaciques sur la face $z_S=-vt$ et préciser leur pulsation ${\omega }_i$.
Q25. Exprimer $\Delta$ au premier ordre en $v/c$, en proposer une application numérique raisonnable et commenter. Montrer que $f_1$ est pratiquement proportionnelle à $v$ pour un choix pertinent de la nature du filtre et de $f_c$, que l'on proposera.