Corrigé Mines-Ponts 2025 Physique II PC — Partie II.A (Q18 à Q21) : Thermistance CTN : étalonnage, modèle de Drude et facteur de Boltzmann

Les ballons-sondes mesurent la température avec une thermistance CTN, dipôle de résistance de l'ordre de quelques $\mathrm{k\Omega }$. Steinhart et Hart ont proposé l'étalonnage

$$\frac{T^{\ast }}{T}=A-B\ln \left(\frac{G}{G^{\ast }}\right)-C{\left[\ln \left(\frac{G}{G^{\ast }}\right)\right]}^3,$$

$T$ en kelvins, $G$ conductance en siemens, $T^{\ast }=1\mathrm{K}$, $G^{\ast }=1\mathrm{S}$. Pour la thermistance Western Electric 4756--12 (utilisable jusqu'à $-136^{\circ }\mathrm{C}$) : $A=7,92\times 10^{-4}$, $B=2,31\times 10^{-4}$, $C=8,43\times 10^{-8}$. Données : $k_{\mathrm{B}}=1,4\times 10^{-23}\mathrm{J}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$, $1\mathrm{eV}=1,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$.

Q18. Quelle approximation raisonnable de cet étalonnage proposer (retenue ensuite) ?
Q19. La thermistance est un cylindre de section $s$ et de longueur $\ell$ : relier $G$, $s$, $\ell$ et la conductivité ${\gamma }_{\mathrm{el}}$. Montrer que ${\gamma }_{\mathrm{el}}$ est proportionnelle à $\exp [-\mathcal{E}/(k_{\mathrm{B}}T)]$ ; exprimer et calculer $\mathcal{E}$.

Modèle de Drude : porteurs de masse $m$, de charge $q$, de densité $n_q$ (qui dépend de $T$), mis en mouvement par $\overrightarrow{E}$ et freinés par les chocs, de durée moyenne $\tau$ entre deux chocs indépendante de $T$.

Q20. Les chocs équivalent à une force $\overrightarrow{f}=-\frac{m}{\tau }\overrightarrow{v}$ : étudier le mouvement d'un porteur et en déduire, en régime permanent, ${\gamma }_{\mathrm{el}}$ en fonction de $n_q$, $q$, $\tau$, $m$.

Dans un semi-conducteur, les porteurs sont immobiles dans la bande de valence et ne conduisent que dans la bande de conduction, plus haute de $\mathcal{E}$ (figure 5).

{Figure 5 — Bandes de valence et de conduction.}

Q21. Par une loi statistique à facteur de Boltzmann, donner le rapport des densités $n_q$ (bande de conduction) et $n_0$ (bande de valence). Sans nouveau calcul, en expliquant, donner la valeur de $\mathcal{E}$.